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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 So 09.11.2008 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | Die Abbildung [mm] $q:\IN \times \IN \to \IR$ [/mm] sei gegeben durch:
$q(1,1)=3/5$, $q(2,2)=3/10$, [mm] $q(n,k)=8/5*2^{-(n+k)}$ [/mm] für $k [mm] \ge [/mm] 3,n [mm] \ge [/mm] 3$; $q=0$ sonst
a) Zeigen Sie: $q$ ist Zähldichte eines Wahrscheinlichkeitsmaßes $Q$ auf [mm] $\IN^2$.
[/mm]
b) Bestimmen Sie für $k [mm] \in \IN$ [/mm] die Wahrscheinlichkeiten [mm] $Q(\{k\} \times \IN)$ [/mm] bzw. [mm] $Q(\IN \times \{k\})$ [/mm] sowie [mm] $Q(\{1,\ldots,k\} \times \IN)$ [/mm] bzw. [mm] $Q(\IN \times \{1,\ldots,k\})$ [/mm] |
Hallo,
Also bei de a) dachte ich,ich mach das so: Da die Zähldichte die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist(??),die gleich 1 sein muss, addiert man einfach die WSK hier zusammen.Also 3/5+3/10=0.9 und deshalb muss [mm] 8/5*2^{-(n+k)}=0.1 [/mm] ergeben?Oder ist die Zähldichte was anderes?
Bei der b) habe ich jetzt so keine Idee.Habt ihr da eine zu?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:27 So 09.11.2008 | | Autor: | mini111 |
Hallo,Weiß da keiner weiter?Ich würd mich sehr über eure Hilfe freuen...
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:50 So 09.11.2008 | | Autor: | Marc |
Hallo,
bitte weise uns auch nachträglich darauf hin, dass du deine Frage in einem anderen Mathe-Forum gestellt hast.
> Die Abbildung [mm]q:\IN \times \IN \to \IR[/mm] sei gegeben durch:
> [mm]q(1,1)=3/5[/mm], [mm]q(2,2)=3/10[/mm], [mm]q(n,k)=8/5*2^{-(n+k)}[/mm] für [mm]k \ge 3,n \ge 3[/mm];
> [mm]q=0[/mm] sonst
> a) Zeigen Sie: [mm]q[/mm] ist Zähldichte eines
> Wahrscheinlichkeitsmaßes [mm]Q[/mm] auf [mm]\IN^2[/mm].
> b) Bestimmen Sie für [mm]k \in \IN[/mm] die Wahrscheinlichkeiten
> [mm]Q(\{k\} \times \IN)[/mm] bzw. [mm]Q(\IN \times \{k\})[/mm] sowie
> [mm]Q(\{1,\ldots,k\} \times \IN)[/mm] bzw. [mm]Q(\IN \times \{1,\ldots,k\})[/mm]
>
> Hallo,
>
> Also bei de a) dachte ich,ich mach das so: Da die
> Zähldichte die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist(??),die
Nein, das macht irgendwie keinen Sinn.
Was eine Zähldichte ist, steht in deinem Skript oder Buch.
> gleich 1 sein muss, addiert man einfach die WSK hier
> zusammen.Also 3/5+3/10=0.9 und deshalb muss
> [mm]8/5*2^{-(n+k)}=0.1[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ergeben?Oder ist die Zähldichte was
> anderes?
Eine Zähldichte q ist eine Möglichkeit, ein Wahrscheinlichkeitsmaß Q festzulegen, wie die Aufgabe ja auch nahelegt.
Wenn du eine Zähldichte hast, gilt nämlich:
$Q(A)=\summe_{\omega\in A} q(\omega)$, d.h., will die W'keit eines Ereignisses ist einfach die Summe der Funktionswerte, die die Zähldichte auf den Elementen von A annimmt.
Damit sich vernünftig ein W'keitsmaß definieren lässt, muss ja mindestens gelten:
$Q(\Omega)=1$
hier also (da $\Omega=\IN\times\IN$)
$1=Q(\Omega)=Q(\IN\times\IN)=\summe_{(n,k)\in\IN\times\IN} q((n,k))$
Diesen Ausdruck bereite ich nun so vor, dass ich die Definition von q ausnutzen kann:
$=q((1,1))+q((2,2))+\summe_{n\ge 3, k\ge 3}} q((n,k))$ (die restlichen, nicht auftauchenden Summanden z.B. $q((1,2))$ sind ja =0)
Definition einsetzen:
$=\bruch35+\bruch3{10}+\summe_{n\ge 3, k\ge 3} \bruch85*2^{-(n+k)}$
Die letzte Summation als Doppelsumme geschrieben:
$=\bruch35+\bruch3{10}+\summe_{n=3}^\infty \summe_{k=3}^\infty \bruch85*2^{-(n+k)}$
Dann spendiere ich noch zwei Schritte, ab da solltest du eigentlich alleine zum Ziel kommen:
$=\bruch35+\bruch3{10}+\summe_{n=3}^\infty \left(\summe_{k=3}^\infty \bruch85*2^{-n}*2^{-k}\right)$
Distributivgesetz:
$=\bruch35+\bruch3{10}+\bruch85 \summe_{n=3}^\infty \left(2^{-n} \summe_{k=3}^\infty 2^{-k}\right)$
> Bei der b) habe ich jetzt so keine Idee.Habt ihr da eine
> zu?
Einfach die Formel oben anwenden:
$Q(\{k\} \times \IN)=\summe_{n=1}^\infty q((k,n))=\ldots$
Bei den anderen Mengen ebenso.
Viele Grüße,
Marc
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