Zahlenbereiche, 2erTupel, Sinn < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Sa 30.11.2013 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Welche der folgenden Angaben sind für a,b,c,d [mm] \in \IN [/mm] u,v,w,x [mm] \in \IZ [/mm] sinnvoll? Bitte begründen.
a)(a,b) [mm] \in \IZ
[/mm]
b) (u,v) [mm] \in \IZ
[/mm]
c) (a,b) [mm] \in \IZ
[/mm]
d) (u,v) [mm] \in \IZ^2 [/mm] usw. ... |
Hallo zusammen,
Wir haben in der letzten Vorlesung die ganzen Zahlen über Äquivalenzklassen eingeführt. Jedoch noch nicht konkret als -2,-1 etc. sondern als solche 2er Tupel. Ich muss gestehen, dass ich mich damit noch nicht ganz so gut zurecht finde. Vor allem diese Aufgabe ist grundlegend für alles andere, was ich auch noch tun muss. Es wäre spitze, wenn mir jemand exemplarisch anhand der oben genannten Aufgabe auf die Sprünge helfen könnte. Also zu a) denke ich, dass es sinnvoll sein müsste, weil ja a und b [mm] \in \IN [/mm] sind und wir [mm] \IZ [/mm] quasi über diese Tupel definiert haben. Sehe ich das richtig, oder bin ich komplett auf dem Holzweg?
Gruß
Anni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:53 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
> Welche der folgenden Angaben sind für a,b,c,d [mm]\in \IN[/mm]
> u,v,w,x [mm]\in \IZ[/mm] sinnvoll? Bitte begründen.
> a)(a,b) [mm]\in \IZ[/mm]
> b) (u,v) [mm]\in \IZ[/mm]
> c) (a,b) [mm]\in \IZ[/mm]
> d)
> (u,v) [mm]\in \IZ^2[/mm] usw. ...
>
> Hallo zusammen,
>
> Wir haben in der letzten Vorlesung die ganzen Zahlen über
> Äquivalenzklassen eingeführt. Jedoch noch nicht konkret
> als -2,-1 etc. sondern als solche 2er Tupel. Ich muss
> gestehen, dass ich mich damit noch nicht ganz so gut
> zurecht finde. Vor allem diese Aufgabe ist grundlegend für
> alles andere, was ich auch noch tun muss. Es wäre spitze,
> wenn mir jemand exemplarisch anhand der oben genannten
> Aufgabe auf die Sprünge helfen könnte. Also zu a) denke
> ich, dass es sinnvoll sein müsste, weil ja a und b [mm]\in \IN[/mm]
> sind und wir [mm]\IZ[/mm] quasi über diese Tupel definiert haben.
> Sehe ich das richtig, oder bin ich komplett auf dem
> Holzweg?
Ich kenne die Definition von eurem Skript nicht und weiß nicht, ob ich die Aufgabe richtig verstanden habe, aber ich probiere es mal.
Es macht übrigens Sinn die natürliche Zahlen hier bei Null beginnen zu lassen!
Im folgenden bezeichne K den Begriff der Äquivalenzklasse.
Zu a)
Sei [mm] n:=(a,b)\in\IZ [/mm] mit [mm] a,b\in\IN_0.
[/mm]
Gucken wir uns an, wie [mm] \IZ_{0}^{+} [/mm] aufgebaut ist:
[mm] n:=K(n,0)=\{(n,0)(n+1,1),(n+2,2),\ldots\}
[/mm]
Zum Beispiel kannst du die ganze Zahl $2$ wie folgt darstellen:
[mm] 2:=K(2,0)=\{(2,0),(3,1),\ldots\}
[/mm]
Die Frage ist, macht das alles Sinn für unser $n$?
[mm] n:=K(a,b)=\{(a,b-b),(a,b-b+1),\ldots\}
[/mm]
Gucken wir uns an, wie [mm] \IZ_{0}^{-} [/mm] aufgebaut ist:
[mm] -n:=K(0,n)=\{(0,n)(1,n+1),(2,n+2),\ldots\}
[/mm]
Zum Beispiel kannst du die ganze Zahl $-2$ wie folgt darstellen:
[mm] -2:=K(0,2)=\{(0,2)(1,3),(2,4),\ldots\}
[/mm]
Das heißt, dass wir mit unserem $n=(a,b)$ mit [mm] a,b\in\IN_0 [/mm] ganz [mm] \IZ [/mm] darstellen können!
Das heißt im Klartext:
Für jedes Tupel $(a,b)$ von natürlichen Zahlen gilt genau eine der folgenden Bedingungen:
[mm] \alpha)$a=b\Rightarrow [/mm] n=K(0,0)=0$.
[mm] \beta)$a$ [/mm] gehört zu der Liste der sukzessiv gebildeten Nachfolgern von $b$, dann schreiben wir $n>0$.
[mm] \gamma)$b$ [/mm] gehört zu der Liste der sukzessiv gebildeten Nachfolgern von $a$, dann schreiben wir $n<0$.
Zu b)
Wenn du dir a) klargemacht hast, dann wirst du schnell bemerken, dass du keine negativen ganze Zahlen brauchst um negative ganze Zahlen darzustellen.
Zu c)
Hier fehlt was oder du musst es korrigieren!
Zu d)
Siehe c)!
>
> Gruß
>
> Anni
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 So 01.12.2013 | | Autor: | Catman |
Vielen Dank für die Antwort. Für das erste Beispiel finde ich das auch einleuchtend. Ich weiß zwar nicht in wie weit wir das schon so aufschreibe "dürfen", aber es geht mir an dieser Stelle auch erstmal um das Verständnis. Bei der Aufgabe c) ist in der Tat etwas falsch. Es muss heißen a,b [mm] \in \IZ. [/mm] Also ohne Klammern.
Hier bin ich dann wieder unsicher, da a,b welche [mm] \in \IN [/mm] sind, ja zwangsläufig auch [mm] \in \IZ [/mm] sind, weil [mm] \IZ [/mm] ja eine "Erweiterung" von [mm] \IN [/mm] darstellt. Jedoch können a und b nicht den gesamten Zahlraum [mm] \IZ [/mm] abbilden. Insofern wäre es ja nicht unbedingt sinnvoll a,b [mm] \in \IZ [/mm] zu schreiben, oder?
Und zu der letzten Aufgabe. Da sind die Angaben richtig. Also (u,v) [mm] \in \IZ^2. [/mm] Hier bin ich mir nicht ganz sicher, was [mm] \IZ^2 [/mm] bedeuten soll. Hierzu haben wir folgendes definiert: (a,b) := [mm] \{(c,d)\in \IN^2 | (a,b) \sim (c,d)\} [/mm] Also das unterstirchene haben wir als Äquivalenzklassen definiert. Was genau [mm] \in \IN^2 [/mm] bedeutet ist mir wieder nicht klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 So 01.12.2013 | | Autor: | Catman |
Heißt das für b) dann, dass die Angabe nicht sinnvoll ist, da u,v um das zu erfüllen nur [mm] \in \IN [/mm] sein müssten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:18 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Heißt das für b) dann, dass die Angabe nicht sinnvoll
> ist, da u,v um das zu erfüllen nur [mm]\in \IN[/mm] sein müssten?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ausschmücken solltest du es aber trotzdem!
DieAcht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Vielen Dank für die Antwort. Für das erste Beispiel finde
> ich das auch einleuchtend. Ich weiß zwar nicht in wie weit
> wir das schon so aufschreibe "dürfen", aber es geht mir an
> dieser Stelle auch erstmal um das Verständnis. Bei der
> Aufgabe c) ist in der Tat etwas falsch. Es muss heißen a,b
> [mm]\in \IZ.[/mm] Also ohne Klammern.
> Hier bin ich dann wieder unsicher, da a,b welche [mm]\in \IN[/mm]
> sind, ja zwangsläufig auch [mm]\in \IZ[/mm] sind, weil [mm]\IZ[/mm] ja eine
> "Erweiterung" von [mm]\IN[/mm] darstellt. Jedoch können a und b
> nicht den gesamten Zahlraum [mm]\IZ[/mm] abbilden. Insofern wäre es
> ja nicht unbedingt sinnvoll a,b [mm]\in \IZ[/mm] zu schreiben, oder?
Sie könnten schon, aber wir brauchen sie nicht! Wir können die Menge [mm] \IZ [/mm] ohne Probleme nur mit Zahlen [mm] a,b\in\IN [/mm] darstellen.
>
> Und zu der letzten Aufgabe. Da sind die Angaben richtig.
> Also (u,v) [mm]\in \IZ^2.[/mm] Hier bin ich mir nicht ganz sicher,
> was [mm]\IZ^2[/mm] bedeuten soll. Hierzu haben wir folgendes
> definiert: (a,b) := [mm]\{(c,d)\in \IN^2 | (a,b) \sim (c,d)\}[/mm]
> Also das unterstirchene haben wir als Äquivalenzklassen
> definiert. Was genau [mm]\in \IN^2[/mm] bedeutet ist mir wieder
> nicht klar.
[mm] (u,v)\in\IZ^2 [/mm] heißt einfach nur, dass [mm] u,v\in\IZ [/mm] sind.
Ich denke, dass man sofort aus der Definition folgern kann, dass wir das nicht brauchen um [mm] \IZ [/mm] darzustellen.
Die Aufgabe ist aber, wie ich finde, komisch gestellt. Geht es denn überhaupt darum [mm] \IZ [/mm] darzustellen oder sollst du dir auch Gedanken über andere Mengen machen?
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 01.12.2013 | | Autor: | Catman |
> > Vielen Dank für die Antwort. Für das erste Beispiel finde
> > ich das auch einleuchtend. Ich weiß zwar nicht in wie weit
> > wir das schon so aufschreibe "dürfen", aber es geht mir an
> > dieser Stelle auch erstmal um das Verständnis. Bei der
> > Aufgabe c) ist in der Tat etwas falsch. Es muss heißen a,b
> > [mm]\in \IZ.[/mm] Also ohne Klammern.
> > Hier bin ich dann wieder unsicher, da a,b welche [mm]\in \IN[/mm]
> > sind, ja zwangsläufig auch [mm]\in \IZ[/mm] sind, weil [mm]\IZ[/mm] ja eine
> > "Erweiterung" von [mm]\IN[/mm] darstellt. Jedoch können a und b
> > nicht den gesamten Zahlraum [mm]\IZ[/mm] abbilden. Insofern wäre es
> > ja nicht unbedingt sinnvoll a,b [mm]\in \IZ[/mm] zu schreiben, oder?
>
> Sie könnten schon, aber wir brauchen sie nicht! Wir
> können die Menge [mm]\IZ[/mm] ohne Probleme nur mit Zahlen
> [mm]a,b\in\IN[/mm] darstellen.
>
> >
> > Und zu der letzten Aufgabe. Da sind die Angaben richtig.
> > Also (u,v) [mm]\in \IZ^2.[/mm] Hier bin ich mir nicht ganz sicher,
> > was [mm]\IZ^2[/mm] bedeuten soll. Hierzu haben wir folgendes
> > definiert: (a,b) := [mm]\{(c,d)\in \IN^2 | (a,b) \sim (c,d)\}[/mm]
> > Also das unterstirchene haben wir als Äquivalenzklassen
> > definiert. Was genau [mm]\in \IN^2[/mm] bedeutet ist mir wieder
> > nicht klar.
> [mm](u,v)\in\IZ^2[/mm] heißt einfach nur, dass [mm]u,v\in\IZ[/mm] sind.
> Ich denke, dass man sofort aus der Definition folgern
> kann, dass wir das nicht brauchen um [mm]\IZ[/mm] darzustellen.
>
> Die Aufgabe ist aber, wie ich finde, komisch gestellt. Geht
> es denn überhaupt darum [mm]\IZ[/mm] darzustellen oder sollst du
> dir auch Gedanken über andere Mengen machen?
>
> DieAcht
Danke für die Hilfe. Also die "komische Aufgabenstellung" ist ja auch Teil meines Problems. Vor allem finde ich die Frage nach dem was "sinnvoll" ist sehr schwammig. Die Aufgabe hat aber auch noch viel mehr Teile (a) bis (p). Ich denke also eher, dass wir kurz begründen sollen ob die Angabe "sinnvoll" ist oder eben nicht. Wobei mir leider nicht klar ist was genau das heißen soll.
Ich schreibe mal noch ein paar Teilaufgaben auf (und was ich dazu vermute), vielleicht erschließt sich dir daraus der Sinn der Aufgabe eventuell besser:
[mm] u\in \IN^2
[/mm]
Das ist eine sinnvolle Angabe, da u [mm] \in \IZ [/mm] liegt und somit als Tupel (a,b) aus [mm] \IN [/mm] X [mm] \IN [/mm] geschrieben werden kann?
(u,v) [mm] \in \IZ^2
[/mm]
u und v sind [mm] \in \IZ, [/mm] also sind 2er Tupel aus der Menge [mm] \IZ [/mm] X [mm] \IZ [/mm] ?
(u,v) [mm] \in \IZ^2
[/mm]
Wenn (u,v) [mm] \in \IZ^2 [/mm] sind, dann gilt das auch für alle äquivalenten Tupel?
(u,v) [mm] \in [u]\IZ^2[/u]
[/mm]
Hier ist jetzt [mm] \IZ^2 [/mm] unterstrichen, ich denke das dann hier irgendwas mit Äquivalenzklassen auf [mm] \IZ [/mm] bezogen ist, aber das haben wir so nicht definiert und ich weiß nicht was genau das heißen soll.
(a,b) [mm] \in \IZ
[/mm]
Das ist wenn die Aufgabe oben richtig ist analog zu a) und der Aufgabe mit (u,v) [mm] \in \IZ^2 [/mm]
(a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d)
(a,b) ist ja schon definiert als Äquivalenzklasse zu (a,b). Dann ist es wenig sinnvoll [mm] \sim [/mm] (c,d) , weil wenn das richtig wäre (c,d) schon zur Äquivalenzklasse (a,b) gehört?
(a,b) = (c,d)
Das ist gegeben, wenn (a,b) [mm] \sim [/mm] (c,d) gilt?
(a,b) = (c,d)
Gilt wenn a=c und b=d ?
(a,b) +Z (c,d)
Das ist die "normale" Addition in Z
(u,v) +Z (w,x)
Das ist wenig sinnvoll, weil u,v,w,x [mm] \in \N [/mm] sein müssten
u +Z v
Das macht wiederum Sinn, weil eine Zahl [mm] \in \IZ [/mm] im Grunde ja einem 2er Tupel aus Zahlen [mm] \in \IN [/mm] entspricht
(a,b) +Z (c,d)
Wieder die "normale" Addition in [mm] \IZ [/mm]
u=(a,b)
Siehe 2 Aufgaben zuvor.
Also irgendwie macht das was ich da schreibe für mich Sinn, aber es könnte genausogut sein, dass ich komplett falsch liege. Geht das in eine richtige Richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> > > Vielen Dank für die Antwort. Für das erste Beispiel finde
> > > ich das auch einleuchtend. Ich weiß zwar nicht in wie weit
> > > wir das schon so aufschreibe "dürfen", aber es geht mir an
> > > dieser Stelle auch erstmal um das Verständnis. Bei der
> > > Aufgabe c) ist in der Tat etwas falsch. Es muss heißen a,b
> > > [mm]\in \IZ.[/mm] Also ohne Klammern.
> > > Hier bin ich dann wieder unsicher, da a,b welche [mm]\in \IN[/mm]
> > > sind, ja zwangsläufig auch [mm]\in \IZ[/mm] sind, weil [mm]\IZ[/mm] ja eine
> > > "Erweiterung" von [mm]\IN[/mm] darstellt. Jedoch können a und b
> > > nicht den gesamten Zahlraum [mm]\IZ[/mm] abbilden. Insofern wäre es
> > > ja nicht unbedingt sinnvoll a,b [mm]\in \IZ[/mm] zu schreiben, oder?
> >
> > Sie könnten schon, aber wir brauchen sie nicht! Wir
> > können die Menge [mm]\IZ[/mm] ohne Probleme nur mit Zahlen
> > [mm]a,b\in\IN[/mm] darstellen.
> >
> > >
> > > Und zu der letzten Aufgabe. Da sind die Angaben richtig.
> > > Also (u,v) [mm]\in \IZ^2.[/mm] Hier bin ich mir nicht ganz sicher,
> > > was [mm]\IZ^2[/mm] bedeuten soll. Hierzu haben wir folgendes
> > > definiert: (a,b) := [mm]\{(c,d)\in \IN^2 | (a,b) \sim (c,d)\}[/mm]
> > > Also das unterstirchene haben wir als Äquivalenzklassen
> > > definiert. Was genau [mm]\in \IN^2[/mm] bedeutet ist mir wieder
> > > nicht klar.
> > [mm](u,v)\in\IZ^2[/mm] heißt einfach nur, dass [mm]u,v\in\IZ[/mm] sind.
> > Ich denke, dass man sofort aus der Definition folgern
> > kann, dass wir das nicht brauchen um [mm]\IZ[/mm] darzustellen.
> >
> > Die Aufgabe ist aber, wie ich finde, komisch gestellt. Geht
> > es denn überhaupt darum [mm]\IZ[/mm] darzustellen oder sollst du
> > dir auch Gedanken über andere Mengen machen?
> >
> > DieAcht
>
> Danke für die Hilfe. Also die "komische Aufgabenstellung"
> ist ja auch Teil meines Problems. Vor allem finde ich die
> Frage nach dem was "sinnvoll" ist sehr schwammig. Die
> Aufgabe hat aber auch noch viel mehr Teile (a) bis (p). Ich
> denke also eher, dass wir kurz begründen sollen ob die
> Angabe "sinnvoll" ist oder eben nicht. Wobei mir leider
> nicht klar ist was genau das heißen soll.
Darauf könntest du kommen, falls es mit der Punkteanzahl für die Aufgabe "Sinn" macht.
> Ich schreibe mal noch ein paar Teilaufgaben auf (und was
> ich dazu vermute), vielleicht erschließt sich dir daraus
> der Sinn der Aufgabe eventuell besser:
>
> [mm]u\in \IN^2[/mm]
>
> Das ist eine sinnvolle Angabe, da u [mm]\in \IZ[/mm] liegt und somit
> als Tupel (a,b) aus [mm]\IN[/mm] X [mm]\IN[/mm] geschrieben werden kann?
Ich glaube, dass du das richtige meinst!
Wenn [mm] u\in\IN^2, [/mm] dann ist [mm] u=(a,b)\in\IZ [/mm] mit [mm] a,b\in\IN.
[/mm]
Du kannst doch mit [mm] a,b\in\IN [/mm] jede Zahl aus [mm] \IZ [/mm] darstellen.
>
> (u,v) [mm]\in \IZ^2[/mm]
>
> u und v sind [mm]\in \IZ,[/mm] also sind 2er Tupel aus der Menge [mm]\IZ[/mm]
> X [mm]\IZ[/mm] ?
>
> (u,v) [mm]\in \IZ^2[/mm]
>
> Wenn (u,v) [mm]\in \IZ^2[/mm] sind, dann gilt das auch für alle
> äquivalenten Tupel?
>
> (u,v) [mm]\in [u]\IZ^2[/u][/mm]
>
> Hier ist jetzt [mm]\IZ^2[/mm] unterstrichen, ich denke das dann hier
> irgendwas mit Äquivalenzklassen auf [mm]\IZ[/mm] bezogen ist, aber
> das haben wir so nicht definiert und ich weiß nicht was
> genau das heißen soll.
>
> (a,b) [mm]\in \IZ[/mm]
>
> Das ist wenn die Aufgabe oben richtig ist analog zu a) und
> der Aufgabe mit (u,v) [mm]\in \IZ^2[/mm]
>
> (a,b) [mm]\sim[/mm] (c,d)
>
> (a,b) ist ja schon definiert als Äquivalenzklasse zu
> (a,b). Dann ist es wenig sinnvoll [mm]\sim[/mm] (c,d) , weil wenn
> das richtig wäre (c,d) schon zur Äquivalenzklasse (a,b)
> gehört?
>
> (a,b) = (c,d)
>
> Das ist gegeben, wenn (a,b) [mm]\sim[/mm] (c,d) gilt?
>
> (a,b) = (c,d)
>
> Gilt wenn a=c und b=d ?
>
> (a,b) +Z (c,d)
>
> Das ist die "normale" Addition in Z
>
> (u,v) +Z (w,x)
>
> Das ist wenig sinnvoll, weil u,v,w,x [mm]\in \N[/mm] sein müssten
>
> u +Z v
>
> Das macht wiederum Sinn, weil eine Zahl [mm]\in \IZ[/mm] im Grunde
> ja einem 2er Tupel aus Zahlen [mm]\in \IN[/mm] entspricht
>
> (a,b) +Z (c,d)
>
> Wieder die "normale" Addition in [mm]\IZ[/mm]
>
> u=(a,b)
>
> Siehe 2 Aufgaben zuvor.
>
>
> Also irgendwie macht das was ich da schreibe für mich
> Sinn, aber es könnte genausogut sein, dass ich komplett
> falsch liege. Geht das in eine richtige Richtung?
>
Ich denke, dass du das so richtig machst, aber ich würde nochmal nachfragen 
Noch ein paar Tipps:
Du hast eine Äquivalenzrelation gegeben, falls Symmetrie, Reflexivität und Transitivität vorliegt.
Seien [mm] n_1:=K(a_1,b_1),n_2:=K(a_2,b_2)\in\IZ, [/mm] dann gilt:
Zur Addition in [mm] \IZ:
[/mm]
[mm] n_1+n_2=K(a_1+a_2,b_1+b_2)
[/mm]
Zur Multiplikation in [mm] \IZ:
[/mm]
[mm] n_1*n_2=K(a_1*a_2+b_1*b_2,a_1*b_2+a_2*b_1)
[/mm]
Du hast im Grunde [mm] (a_1,b_1)\sim(a_2,b_2)\gdw a_1+b_2=a_2+b_1
[/mm]
Für Mengen gilt übrigens:
[mm] \IN_0^2=\IN_0\times\IN_0=\{(a,b)|a,b\in\IN_0\}
[/mm]
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 So 01.12.2013 | | Autor: | Catman |
Nochmal vielen Dank für deine Mühe und Tips. Mit dem "nochmal Nachfragen" ist das so eine Sache, da man vor Abgabe des Übungsblattes von unserem Prof. keine hilfreichen Antworten erhält. Aber ich denke, dass ich jetzt erstmal weiter arbeiten kann. Dank dir und wünsche noch einen schönen Restsonntag.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:39 So 01.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Nochmal vielen Dank für deine Mühe und Tips.
>Mit dem "nochmal Nachfragen" ist das so eine Sache, da man vor
> Abgabe des Übungsblattes von unserem Prof. keine
> hilfreichen Antworten erhält. Aber ich denke, dass ich
> jetzt erstmal weiter arbeiten kann. Dank dir und wünsche
> noch einen schönen Restsonntag.
Habt ihr keine Tutoren? Ansonsten einfach Kommilitonen fragen 
Dir auch noch einen schönen Sonntag.
DieAcht
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