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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:37 Di 25.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Korollar: Ist G eine endliche abelsche Gruppe und n [mm] \in \IZ, [/mm] n>0 hat die Eigenschaft n teilt |G|, so gibt es H [mm] \le [/mm] G mit der Eigenschaft |H|=n |
Hallo zusammen,
Ich brauch zu dem Beweis eine Tatsache, die ich nicht schaffe zu beweisen:
n [mm] \in \IZ, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 0, s [mm] \ge [/mm] 0, [mm] p_1^{\alpha_1},...,p_s^{\alpha_s} [/mm] sind Primzahlpotenzen:
Aus n| [mm] p_1^{\alpha_1} *..*p_s^{\alpha_s} [/mm] folgt [mm] \exists n_1,..,n_s \in \IZ, n_1,..,n_s>0 [/mm] mit [mm] n=n_1*..*n_s [/mm] und [mm] n_i |p_i^{\alpha_i} [/mm] für [mm] 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] s
Ich hab versucht, dass mit der Induktion zu zeigen:
I.Anfang: s=1, Voraussetzung: n| [mm] p_1^{\alpha_1}, [/mm] dann wähle [mm] n_1=n
[/mm]
I.Schritt: s [mm] \rightarrow [/mm] s+1
Voraussetzung: [mm] n|p_1^{\alpha_1}*..*p_s^{\alpha_s} p_{s+1}^{\alpha_{s+1}}
[/mm]
Habt ihr einen Tipp?
LG,
sissi
EDIT: Der Beweis des Korollars in der VO:
Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen gibt es nicht notwendigerweiße verschiedene Primzahlpotenzen [mm] p_1^{\alpha_1},..,p_s^{\alpha_s} [/mm] derart dass G [mm] \cong Z_{p_1^{\alpha_1}}\times..\times Z_{p_s^{\alpha_s}} [/mm] woraus [mm] |G|=p_1^{\alpha_1}*..*p_s^{\alpha_s} [/mm] und [mm] n|p_1^{\alpha_1}*..*p_s^{\alpha_s} [/mm] folgt. Man kann zeigen, dass [mm] \exists n_1,..,n_s \in \IZ, n_1,..,n_s>0 [/mm] mit [mm] n=n_1*..*n_s [/mm] und [mm] n_i |p_i^{\alpha_i\} [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] s. (Beachte, dass es sich bei [mm] p_1^{\alpha_1}*..*p_s^{\alpha_s} [/mm] nicht um die Prinfaktorzerlegung von |G| handeln muss!) Nach Lemma59(selbe Korollar nur mit endlichen zyklischen Gruppen) gilt [mm] \forall [/mm] i [mm] \in \{1,..,s\} \exists H_i \le Z_{p_i^{\alpha_i}} [/mm] mit [mm] |H_i|=n_i. [/mm] dann ist [mm] H_1 \times [/mm] .. [mm] \times H_s \le Z_{p_1^{\alpha_1}}\times..\times Z_{p_s^{\alpha_s}}.
[/mm]
Ist [mm] \phi: Z_{p_1^{\alpha_1}}\times..\times Z_{p_s^{\alpha_s}} [/mm] ->G ein Isomorphismus, so ist [mm] H:=\phi(H_1 \times [/mm] .. [mm] \times H_s). [/mm] Dann ist H [mm] \le [/mm] G und [mm] |H|=|H_1 \times [/mm] .. [mm] \times H_s| [/mm] = [mm] |H_1| *..*|H_s| [/mm] = [mm] n_1*..*n_s=n
[/mm]
[mm] \Box
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 Di 25.11.2014 | | Autor: | hippias |
> Korollar: Ist G eine endliche abelsche Gruppe und n [mm]\in \IZ,[/mm]
> n>0 hat die Eigenschaft n teilt |G|, so gibt es H [mm]\le[/mm] G mit
> der Eigenschaft |H|=n
> Hallo zusammen,
>
> Ich brauch zu dem Beweis eine Tatsache, die ich nicht
> schaffe zu beweisen:
> n [mm]\in \IZ,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 0, s [mm]\ge[/mm] 0,
> [mm]p_1^{\alpha_1},...,p_s^{\alpha_s}[/mm] sind Primzahlpotenzen:
> Aus n| [mm]p_1^{\alpha_1} *..*p_s^{\alpha_s}[/mm] folgt [mm]\exists n_1,..,n_s \in \IZ, n_1,..,n_s>0[/mm]
> mit [mm]n=n_1*..*n_s[/mm] und [mm]n_i |p_i^{\alpha_i}[/mm] für [mm]1\le[/mm] i [mm]\le[/mm] s
>
> Ich hab versucht, dass mit der Induktion zu zeigen:
> I.Anfang: s=1, Voraussetzung: n| [mm]p_1^{\alpha_1},[/mm] dann
> wähle [mm]n_1=n[/mm]
> I.Schritt: s [mm]\rightarrow[/mm] s+1
> Voraussetzung: [mm]n|p_1^{\alpha_1}*..*p_s^{\alpha_s} p_{s+1}^{\alpha_{s+1}}[/mm]
>
> Habt ihr einen Tipp?
Ja, betrachte die Primfaktorzerlegung von $n$: welche Primzahlen koennen in dieser Zerlegung ueberhaupt nur auftauchen, und mit hoechstens welchen Exponenten? Damit ist auch keine Induktion mehr noetig.
> LG,
> sissi
>
>
>
> EDIT: Der Beweis des Korollars in der VO:
> Nach dem Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen
> gibt es nicht notwendigerweiße verschiedene
> Primzahlpotenzen [mm]p_1^{\alpha_1},..,p_s^{\alpha_s}[/mm] derart
> dass G [mm]\cong Z_{p_1^{\alpha_1}}\times..\times Z_{p_s^{\alpha_s}}[/mm]
> woraus [mm]|G|=p_1^{\alpha_1}*..*p_s^{\alpha_s}[/mm] und
> [mm]n|p_1^{\alpha_1}*..*p_s^{\alpha_s}[/mm] folgt. Man kann zeigen,
> dass [mm]\exists n_1,..,n_s \in \IZ, n_1,..,n_s>0[/mm] mit
> [mm]n=n_1*..*n_s[/mm] und [mm]n_i |p_i^{\alpha_i\}[/mm] für 1 [mm]\le[/mm] i [mm]\le[/mm] s.
> (Beachte, dass es sich bei [mm]p_1^{\alpha_1}*..*p_s^{\alpha_s}[/mm]
> nicht um die Prinfaktorzerlegung von |G| handeln muss!)
> Nach Lemma59(selbe Korollar nur mit endlichen zyklischen
> Gruppen) gilt [mm]\forall[/mm] i [mm]\in \{1,..,s\} \exists H_i \le Z_{p_i^{\alpha_i}}[/mm]
> mit [mm]|H_i|=n_i.[/mm] dann ist [mm]H_1 \times[/mm] .. [mm]\times H_s \le Z_{p_1^{\alpha_1}}\times..\times Z_{p_s^{\alpha_s}}.[/mm]
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> Ist [mm]\phi: Z_{p_1^{\alpha_1}}\times..\times Z_{p_s^{\alpha_s}}[/mm]
> ->G ein Isomorphismus, so ist [mm]H:=\phi(H_1 \times[/mm] .. [mm]\times H_s).[/mm]
> Dann ist H [mm]\le[/mm] G und [mm]|H|=|H_1 \times[/mm] .. [mm]\times H_s|[/mm] = [mm]|H_1| *..*|H_s|[/mm]
> = [mm]n_1*..*n_s=n[/mm]
> [mm]\Box[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 25.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Supa,danke für den Rat!
Sei die Primfaktorzerlegung von [mm] n=q_1^{\beta_1}*..*q_n^{\beta_n}= \prod_{p} p^{\beta_p}
[/mm]
und [mm] b:=p_1^{\alpha_1}*..*p_s^{\alpha_s} [/mm] = [mm] \produkt_{p}p^{\alpha_p}
[/mm]
Wobei das Produkt jeweils über alle Primzahlen läuft, [mm] \alpha_p \ge [/mm] 0 , [mm] \beta_p \ge [/mm] 0 und [mm] \alpha_p=0 \wedge \beta_p=0 [/mm] für alle bis auf endlich viele Primzahlen p.
Laut Voraussetzung n|b [mm] \exists c\in \IN: [/mm] b=nc
Sei c= [mm] \prod_{p}p^{\gamma_p} [/mm] die Primfaktorzerlegung von c.
Dann gilt: [mm] \alpha_p [/mm] = [mm] \beta_p [/mm] + [mm] \gamma_p \forall [/mm] p
D.h. [mm] \beta_p \le \alpha_p \forall [/mm] p
Aus dem Lemma folgere ich die Darstellung von n in seiner Primfaktorzerlegung:
n= [mm] p_1^{\beta_1}*..*p_s^{\beta_s}
[/mm]
wobei [mm] \beta_i \le \alpha_i \forall 1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] s, bei den unendlich vielen anderen Primzahlen muss die Potenz ja kleinergleich 0 sein, also 0 sein.
[mm] n_i [/mm] := [mm] p_i^{\beta} [/mm] wobei [mm] p_i^{\beta_i}|p_i^{\alpha_i}
[/mm]
Okay, so?
Ich habe trotzdem noch die Frage, ob es mit Induktion auch irgendwie geklappt hätte?
LG,
sissi
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moin,
sieht gut so aus. :)
Zu deiner anderen Frage: ja, es geht auch per Induktion, allerdings sehr umständlich.
Wenn du wirklich eine Induktion machen möchtest, würde ich dir eine Induktion nach der Anzahl der verschiedenen Primfaktoren in der Primfaktorzerlegung von $|G|$ empfehlen, aber das werden ein paar unschöne Fallunterscheidungen und du wirst die meisten Argumente, die du hier verwendet hast, wieder einbauen.
Eine klassische Induktion nach $n$ hingegen wirst du wohl nicht (so ohne weiteres^^) hinkriegen, denn da es um Teilbarkeiten geht wird es ein Problem, einen Zusammenhang zwischen $n$ und $n+1$ herzustellen.
lg
Schadow
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