Zariski-Topologie < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Offen heiße eine Menge, wenn sie offen bezüglich der Standardtopologie ist, die man aus der Analysis kennt. Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
1) Jede Zariski-offene Menge im [mm] \IC^{n} [/mm] ist offen.
2) Jede offene Menge im [mm] \IC^{n} [/mm] ist Zariski-offen. |
Hallo!
Also zumindest eine der beiden Aussagen sollte falsch sein, denn die Zariski-Topologie ist nicht die Topologie, die man so kennt.
Jede Z-offene Menge ist Komplement einer Nullstellenmenge V eines Ideals [mm] I=(f_{1},...,f_{k}) [/mm] mit [mm] f_{i}\in\IC[X_{1},...,X_{n}], [/mm] also ist [mm] V=\bigcap_{i}f_{i}^{-1}(0), [/mm] da die [mm] f_{i} [/mm] stetig sind, ist V also abgeschlossen, damit ihr Komplement offen?
So, jetzt braucht man nur noch eine offene Menge, die nicht Z-offen ist bzw. eine abgeschlossene Menge, die nicht Nullstellenmenge eines Ideals ist. Oder kann man jetzt einfach sagen, wäre 2) auch wahr, dann wären die Topologien gleich, also die Standardtopologie noethersch, dies ist aber offenbar nicht der Fall.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:50 Fr 25.11.2011 | | Autor: | cycore |
Hallo Salamence,
> Offen heiße eine Menge, wenn sie offen bezüglich der
> Standardtopologie ist, die man aus der Analysis kennt.
> Zeigen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
> 1) Jede Zariski-offene Menge im [mm]\IC^{n}[/mm] ist offen.
> 2) Jede offene Menge im [mm]\IC^{n}[/mm] ist Zariski-offen.
> Hallo!
>
> Also zumindest eine der beiden Aussagen sollte falsch sein,
> denn die Zariski-Topologie ist nicht die Topologie, die man
> so kennt.
Richtig..
>
> Jede Z-offene Menge ist Komplement einer Nullstellenmenge V
> eines Ideals [mm]I=(f_{1},...,f_{k})[/mm] mit
> [mm]f_{i}\in\IC[X_{1},...,X_{n}],[/mm] also ist
> [mm]V=\bigcap_{i}f_{i}^{-1}(0),[/mm] da die [mm]f_{i}[/mm] stetig sind, ist V
> also abgeschlossen, damit ihr Komplement offen?
Das ist richtig so. Bemerke aber, dass das Argument nur funktioniert weil du davon ausgehen darfst, dass du dich auf endlich viele Polynome beschränken kannst.
>
> So, jetzt braucht man nur noch eine offene Menge, die nicht
> Z-offen ist bzw. eine abgeschlossene Menge, die nicht
> Nullstellenmenge eines Ideals ist. Oder kann man jetzt
> einfach sagen, wäre 2) auch wahr, dann wären die
> Topologien gleich, also die Standardtopologie noethersch,
> dies ist aber offenbar nicht der Fall.
Wenn du dich mit "offensichtlich" zufrieden gibst ist das so okay. Wenn du aber die Tatsache das es sich um verschiedene Topologien handelt einsehen möchtest ist das finden einer abgeschlossenen Menge die nicht Z-abgeschlossen ist wohl am einfachsten.
Ich gebe mal ein eindimensionales Beispiel - ich denke du kommst selbst darauf warum es funktioniert.
[mm]N:=\{\frac{1}{n}|n\in\IN\}\cup{\{0\}}\subset{\IC}[/mm] kann nicht Nullstellenmenge endlich vieler Polynome Polynome [mm]\in\IC[X][/mm] sein, ist aber in der von der Metrik induzierten Topologie (Standardtopologie) abgeschlossen (das Hinzunehmen von 0 gleicht dem Abschluss der Menge).
Gruß cycore
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| Aufgabe | | Für welche Körper K (wird nicht als algebraisch abgeschlossen vorrausgetzt) ist die Zariski-Topologie auf [mm] K^{2} [/mm] die Produkttopologie der Zariski-Topologien auf K? |
Huhu!
Eine weitere, diesmal doch ziemlich knifflige Aufgabe zur Zariski-Topologie. Wie zur Hölle soll man denn herausfinden, wie welche Körper das so ist. Irgendwie ist das komisch und ich hab das Gefühl, dass das im unendlichen Fall oder zumindest für Char(K)=0 nicht geht, vielleicht bei endlichen Körpern, vielleicht bei ihren algebraischen Abschlüssen? Wie soll man da bloß rangehen, mir fehlt irgendwie das Vorstellungsvermögen dafür.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:33 Di 06.12.2011 | | Autor: | cycore |
Hallo,
also für welche Körper das Argument funktioniert hab ich mir so noch nie überlegt. Aber für die ersten Überlegungen sieh dir doch mal die Diagonale [mm]\Delta = \{(x,y)\in K^2: x-y=0\}[/mm] an.
Viel Erfolg - cycore
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:36 Di 06.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> also für welche Körper das Argument funktioniert hab ich
> mir so noch nie überlegt. Aber für die ersten
> Überlegungen sieh dir doch mal die Diagonale [mm]\Delta = \{(x,y)\in K^2: x-y=0\}[/mm]
> an.
und als Ergaenzung dazu: jede endliche Menge ist immer Zariski-abgeschlossen.
Mit den beiden Tipps kannst du die Frage vollstaendig beantworten 
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 07.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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