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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:18 Mo 17.12.2007 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
ich kenne wohl [mm]k[X][/mm] und [mm]k(X)[/mm].
Aber ich habe jezt in einem Buch [mm]k[/mm] entdeckt.
Kann mir jemand sagen, was das bedeutet?
Oder liegt es daran, dass es in einem englischen Buch steht und dasselbe ist wie eins von den anderen beiden?
Vielen Dank Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:27 Mo 17.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> ich kenne wohl [mm]k[X][/mm] und [mm]k(X)[/mm].
> Aber ich habe jezt in einem Buch [mm]k[/mm] entdeckt.
>
> Kann mir jemand sagen, was das bedeutet?
Damit bezeichnet man normalerweise den ``nichtkommutativen Polynomring'' in der Unbestimmten $X$ ueber $k$, also eine freie $k$-Algebra mit Basis [mm] $\{ X \}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Do 19.06.2008 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
> > ich habe in einem Buch [mm]k[/mm] entdeckt.
> > Kann mir jemand sagen, was das bedeutet?
>
> Damit bezeichnet man normalerweise den ''nichtkommutativen
> Polynomring'' in der Unbestimmten [mm]X[/mm] ueber [mm]k[/mm], also eine
> freie [mm]k[/mm]-Algebra mit Basis [mm]\{ X \}[/mm].
ich habe jetzt noch mal eine ganz doofe Frage dazu:
Heißt das, wenn ich k<X> habe ist das isomorph zu T(V), wobei V ein von {X} erzeugter k-Vektorraum ist?
Liebe Grüße Anna.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Do 19.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Anna
> > > ich habe in einem Buch [mm]k[/mm] entdeckt.
> > > Kann mir jemand sagen, was das bedeutet?
> >
> > Damit bezeichnet man normalerweise den ''nichtkommutativen
> > Polynomring'' in der Unbestimmten [mm]X[/mm] ueber [mm]k[/mm], also eine
> > freie [mm]k[/mm]-Algebra mit Basis [mm]\{ X \}[/mm].
Vielleicht erst nochmal ne kleine Anmerkung: ich bin damals davon ausgegangen, dass $X$ einfach irgendein Element ist. Wenn mit $X$ eine Menge gemeint ist, dann soll die Basis der freien $k$-Algebra $X$ selber sein :)
Ich geh jetzt mal davon aus dass $X$ eine Menge ist (z.B. $X = [mm] \{ x_1, \dots, x_n \}$, [/mm] dann hat man $n$ unabhaengige Elemente [mm] $x_1, \dots, x_n$ [/mm] die in der Algebra nicht miteinander kommutieren und auch sonst keine nicht-trivialen Relationen erfuellen.)
> ich habe jetzt noch mal eine ganz doofe Frage dazu:
Es gibt keine doofen Fragen, es gibt nur doofe Antworten 
> Heißt das, wenn ich k<X> habe ist das isomorph zu T(V),
> wobei V ein von {X} erzeugter k-Vektorraum ist?
Sozusagen ja, mit einer Einschraenkung: $V$ ist ein Vektorraum von dem $X$ eine Basis ist. Wenn du das damit meintest (man meint dies oft wenn man sagt ``der von $X$ erzeugte $k$-Vektorraum''), dann ist's richtig :)
(Wenn etwa $X = [mm] \{ 0, 1 \}$ [/mm] ist, dann sind die Elemente von $X$ ja erstmal linear abhaengig, allerdings ist $V$ dann trotzdem zweidimensional, wobei $0$ und $1$ zwei Basiselemente von $V$ sind: insbesondere ist $0$ dann nicht der Nullvektor, und diese Elemente sind nicht linear unabhaengig und entsprechen auch nicht dem Nullelement bzw. Einselement der Algebra! Ist zwar verwirrend, aber normalerweise nennt man die Elemente in $X$ ja auch anders so dass man nicht solche doofen Probleme bekommt...)
LG Felix
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