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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 So 26.02.2006 | | Autor: | test3r |
Hallo zusammen,
wie zeigt man am besten, dass ein Term nur für ganze Zahlen ein Ergebnis/ kein Ergebnis liefert. Welche Möglichkeiten gibt es?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:01 So 26.02.2006 | | Autor: | test3r |
ergänzung: beidpiel wäre zum beispiel: [mm] x^3-20x^2y-20xy^2+y^3=0
[/mm]
warum sind hier nur/keine ganzzahlige lösungen möglich?
wie kann man das beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 So 26.02.2006 | | Autor: | Micha |
Hallo!
> Hallo zusammen,
> wie zeigt man am besten, dass ein Term nur für ganze
> Zahlen ein Ergebnis/ kein Ergebnis liefert. Welche
> Möglichkeiten gibt es?
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
> MfG
das ist eine unmittelbare Folgerung aus dem Satz oder Lemma von Gauß, das besagt, wenn ein Polynom h eines Ringes R[t] über dem Quotientenkörper von R, nämlich K = Q(R) zerfällt in Polynome aus K[t]
$h = [mm] f_1 f_2$
[/mm]
so gibt es eine Zerlegung
$h = [mm] cg_1 g_2 [/mm] $
in Primpolynome und Einheit c über dem Ring R[t].
Mit anderen Worten, wenn ein Polynom mit Koeffizienten aus einem Ring Nullstellen im Quotientenkörper vom Ring besitzt, so sind diese Nullstellen bereits aus dem Ring aus dem die Koeffizienten stammen.
Der Beweis steht in jedem Algebrabuch und ist dort nachlesbar!
Hast du Fragen dazu?
Gruß Micha 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:27 Mo 27.02.2006 | | Autor: | test3r |
gut, du berufst dich auf den lösungsweg von kubischen gleichungen oder?
mein obiges Beispiel ist ja noch leicht zu beweisen. da kann man ja einfach (x+y) ausklammern und hat damit den beweis, dass eine lösung eine ganze zahl sein kann. aber wie würde man das dann bei [mm] x^3-20x^2y-20xy^2+y^3=20 [/mm] praktisch durchführen?
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Hallo,
es gibt aus der Algebra einen Satz, wie man soetwas löst. Wir wollen wissen, ob $ [mm] x^3-20x^2y-20xy^2+y^3-20=0 [/mm] $ ganzzahlige Lösungen hat.
In diesem Fall könnte man die Irreduzibilität in [mm] \IZ[x] [/mm] mit Eisenstein untersuchen! Ist es irreduzibel, so hat die Gleichung auch keine Lösungen!
Viele Grüße
Daniel
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