Zeige: Polynom für jede ganze < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Di 21.10.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe 1 | | Man zeige, dass [mm] n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 2n für jede Zahl n durch 6 teilbar ist. |
| Aufgabe 2 | | Man bestimme alle natürlichen Zahlen n, sodass [mm] n^2 [/mm] + 1 durch n + 1 teilbar ist. |
Ich habe wieder Probleme bei einem Beweis aus der Zahlentheorie:
ad 1)
Was mir dazu spontan einfällt ist, dass 6 durch 2 und 3 geteilt wird sprich: 2 | 6 [mm] \wedge [/mm] 3 | 6
Es müsste also 2 | [mm] (n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 2n) [mm] \wedge [/mm] 3 | [mm] (n^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + 2n) gezeigt werden
Meine Frage ist nun, wie es weitergeht.
ad 2)
Das selbe Problem habe ich bei der zweiten Aufgabe. Auch hier die Frage: Wie geht man vor?
lg
Querpost: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=110401
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:27 Di 21.10.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo uniklu!
Es gilt doch:
[mm] $$n^3+3n^2+2n [/mm] \ = \ n*(n+1)*(n+2)$$
Und eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Di 21.10.2008 | | Autor: | uniklu |
(n * (n + 2) * (n + 1)) == 0 (mod 2)
und
(n * (n + 2) * (n + 1)) == 0 (mod 3)
d.h. ich gucke mir für n >= 0 aber n < 2 und n >= 0 aber n < 3 das ganze an.
wobei n=1 und n=2 die bedinung erfüllen
stimmt das?
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> d.h. ich gucke mir für n >= 0 aber n < 2 und n >= 0 aber n
> < 3 das ganze an.
> wobei n=1 und n=2 die bedinung erfüllen
>
> stimmt das?
Hallo,
k.A. Ich verstehe nämlich von A-Z nicht, was Du meinst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:04 Di 21.10.2008 | | Autor: | uniklu |
Nun ich habe (n * (n + 2) * (n + 1)) == 0 (mod 2) für 2 teilt n * (n + 2) * (n + 1).
Also hab ich angenommen, dass n die Werte 0 und 1 annehmen kann.
Nun, für n = 4 würde die Bedinung auch zutreffend - das 6 den ganzen Ausdruck teilt. Damit ist wohl mein Ansatz falsch.
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> (n * (n + 2) * (n + 1)) == 0 (mod 2)
> und
> (n * (n + 2) * (n + 1)) == 0 (mod 3)
>
> d.h. ich gucke mir
Hallo,
das, was Du oben schreibst, das stimmt ja, aber ich glaube, Du hast nicht verstanden, warum das so ist.
Wir hatten ja ...=n(n+1)(n+3)
Die ist für jedes n durch 6 teilbar, das ist ja der Witz.
Daß Teilbarkeit durch 6 bedeutet, daß die Zahl gleichzeitig durch 3 und durch 2 zu teilen ist, hast Du ja schon gesagt.
Nun überlege Dir mal, warum mindestens einer der Faktoren n,n+1, n+2 durch 3 teilbar ist.
Überlege Dir auch, warum mindestens einer der Faktoren n, n+1, n+2 durch 2 teilbar ist.
Und bevor Du überlegst, überzeige Dich davon, daß es so ist. Berechne n, n+1, n+2 mal für ein paar n.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 21.10.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Danke für die Geduld,
:) ich habe also noch mal überlegt UND DANN validiert.
Ich muss zugeben, das mit den Faktoren ist mir nicht ins Auge geschossen - wieder was gelernt.
Einer der Faktoren ist immer durch 2 bzw. 3 teilbar.
Da dann auch das Produkt der Faktoren durch 2 bzw. 3 teilbar sind ist das ganze durch 2 bzw. 3 teilbar.
Wie würde eine formale Begründung aussehen - also dass das Polynom für alle n durch 6 teilbar ist?
lg
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>
> Einer der Faktoren ist immer durch 2 bzw. 3 teilbar.
>
> Da dann auch das Produkt der Faktoren durch 2 bzw. 3
> teilbar sind ist das ganze durch 2 bzw. 3 teilbar.
>
> Wie würde eine formale Begründung aussehen - also dass das
> Polynom für alle n durch 6 teilbar ist?
Hallo,
wenn Du gezeigt hast, daß es durch 2 und durch drei teilbar ist, steht die Teilbarkeit durch 6 ja völlig außer Frage.
Du mußt Dir eine schlüssige Begründung dafür einfallen lassen, daß einer der Faktoren n, n+1 oder n+2 durch 3 teilbar ist und einer der faktoren n, n+1, n+2 durch 2.
Diese Begründung solltest Du eigentlich selbst herausfinden können.
Du kannst ja z.B. Fallunterscheidungen machen:
1: Fall n=0(mod 3)
2: Fall n=1(mod 3)
3.Fall n=2(mod2)
Gruß v. Angela
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> Man zeige, dass [mm]n^3[/mm] + [mm]3n^2[/mm] + 2n für jede Zahl n durch 6
> teilbar ist.
Hallo,
mit 'ner (schn)öden Induktion kommst Du auch zum Ziel.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Di 21.10.2008 | | Autor: | uniklu |
Querpost:
Das Polynom [mm] n^2 [/mm] + 1 = [mm] (n+1)^2 [/mm] - 2n
also ist der ausdruck durch n+1 teilbar wenn 2n durch n+1 teilbar ist.
n+1 | 2n
Das einzige Beispiel ist n = 1.
Gibt es hier Verbesserungsmöglichkeiten bei der Argumentation?
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> Querpost:
> Das Polynom [mm]n^2[/mm] + 1 = [mm](n+1)^2[/mm] - 2n
> also ist der ausdruck durch n+1 teilbar wenn 2n durch n+1
> teilbar ist.
>
> n+1 | 2n
>
> Das einzige Beispiel ist n = 1.
>
> Gibt es hier Verbesserungsmöglichkeiten bei der
> Argumentation?
Was würdest Du sagen, wenn ich fragen würde: warum ist n=1 das einzige beispiel?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:51 Di 21.10.2008 | | Autor: | uniklu |
Sehr gute Frage,
tut mir leid, das kann ich nur dadurch begründen, dass die Polynomdivision nicht auf 0Rest ausgeht.
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