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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 So 25.11.2012 | | Autor: | AntonK |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Zentralisator von [mm] \sigma=(234) [/mm] in [mm] S_5. [/mm] |
Hallo Leute,
das heißt doch, dass ich alle Elemente [mm] \tau [/mm] bestimmen muss mit [mm] \tau\sigma\tau^{-1}=\sigma, [/mm] richtig?
Bei 120 Elementen kann das lange dauern, was ist der Trick dabei? Ich weiß, dass der Zentralisator eine Untergruppe ist, da der Stabilisator eine Untergruppe ist. Die Ordnung von vom Zentralisator kann also:
{1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60} Elemente enthalten.
Das ist aber immernoch viel Arbeit, ich bräuchte mal einen Anhaltspunkt für die Vorgehensweise.
Danke schonmal!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 So 25.11.2012 | | Autor: | wieschoo |
Sei [mm]\sigma=(\sigma_1,\sigma_2,\dotsc,\sigma_k)\in S_n[/mm] und [mm]\tau \in S_n[/mm]. Dann gilt
[mm]\tau\sigma\tau^{-1}=(\tau(\sigma_1),\tau(\sigma_2),\dotsc,\tau(\sigma_k))[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 25.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Kurze Frage noch zu de Begrifflichkeiten, wenn ich [mm] \tau \sigma \tau^{-1}=\sigma [/mm] umbaue, erhalte ich ja [mm] \tau\sigma=\sigma\tau.
[/mm]
Das ist doch aber genau die Definition für das Zentrum, was ist denn dann der Unterschied vom Zentrum zum Zentralistor?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Im Zentralisator von a befinden sich alle Elemente, die erst mal nur mit dem a kommutieren, also [mm] $Z(a)=\{g\in G| ga=ag\}$. [/mm] Ob die ganzen Elemente g auch mit einem anderen Element b kommutieren weiß man da noch nicht.
Im Zentrum sind wirklich alle Elemente, die mit allen Elementen der Gruppe G kommutieren. [mm] Z(G)=\{g\in G| ga=ag \forall a\in G\}.
[/mm]
Man kann leicht zeigen: [mm] Z(G)=\bigcap_{a \in G}^{}Z(a).
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:13 So 25.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Ok, verstehe ich, danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:29 So 25.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Frage zur Notation und zwar, sagen wir [mm] \tau=(12) [/mm] und [mm] \sigma=(12345).
[/mm]
Wie würde dann $ [mm] \tau\sigma\tau^{-1}=(\tau(\sigma_1),\tau(\sigma_2),\dotsc,\tau(\sigma_k)) [/mm] $ aussehen?
Weiß nicht genau, was das bedeuten soll und was diese Kommata für eine Rolle spielen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Die Kommata sind egal. Denk sie dir einfach weg! Sie wurden nur gesetzt um die Zykeleinträge zu trennen. Mit deinem [mm] \tau [/mm] und [mm] \sigma [/mm] würde gelten:
[mm] $\tau\sigma\tau^{-1}=\tau(1 [/mm] 2 3 4 [mm] 5)\tau^{-1}=(\tau(1) \tau(2) \tau(3) \tau(4) \tau(5))=(2 [/mm] 1 3 4 5)$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 So 25.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Vertstehe, das heißt für mich also:
[mm] \tau(234)\tau^{-1}=(\tau(2)\tau(3)\tau(4))=(234)
[/mm]
Heißt das dann nicht, dass [mm] \tau=id [/mm] ist?
Wobei, wenn ich [mm] \tau=(15) [/mm] nehme, dann gilt ja:
(15)(234)(15)=(15)(15)(234)=(234)
Also würde (15) im Zentralisator liegen, das geht halt nur, da Elementefremd.
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> Vertstehe, das heißt für mich also:
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> [mm]\tau(234)\tau^{-1}=(\tau(2)\tau(3)\tau(4))=(234)[/mm]
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> Heißt das dann nicht, dass [mm]\tau=id[/mm] ist?
Nein. Anders herum wird ein Schuh daraus: Für [mm]\tau=\operatorname{id}[/mm] ist [mm]\tau(234)\tau^{-1}=(234)[/mm]
>
> Wobei, wenn ich [mm]\tau=(15)[/mm] nehme, dann gilt ja:
>
> (15)(234)(15)=(15)(15)(234)=(234)
ok.
Hier darfst du aber nur tauschen, weil der Zykel (15) kein Element von (234). Für [mm]S_n[/mm] und [mm]n\geq 3[/mm] ist die Symmetrische Gruppe ja nicht abelsch.
Ich würde aber nur "(15)(234)(15)=(234)" schreiben.
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> Also würde (15) im Zentralisator liegen, das geht halt
im Zentralisator von (234).
> nur, da Elementefremd.
Ja.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 So 25.11.2012 | | Autor: | AntonK |
Das heißt im Klartext heißt es:
Z((234))=[id,(15)]
Korrekt?
Die (15) konnte ich ja auch aus [mm] (\tau(2)\tau(3)\tau(4)) [/mm] ersehen, ich muss sozusagen nur noch die "fehlenden Elemente" betrachten oder? In dem Fall kommen 1 und 5 nicht vor, deswegen (15).
Das heißt doch aber auch, dass der Zentralisator jedes Zykels, das mehr als 3 Elemente, nur die Identität ist oder?
Da ja dort alle kommutierenden Elemente drin sind, muss ich ansich nur nach den elementfremden Zykeln suchen, ist auch richtig oder?
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> Das heißt im Klartext heißt es:
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> Z((234))=[id,(15)]
>
> Korrekt?
Da fehlt noch ein Element. Welche Elemente [mm]h\in G[/mm] liegen trivialer Weise in [mm]C_G(g)[/mm] für [mm] $g\in [/mm] G$ (Zentralisator von g in G)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 So 25.11.2012 | | Autor: | AntonK |
(234) selber, meinst du sicherlich!
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> (234) selber, meinst du sicherlich!
Genau!
Das stand nur nicht da.
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