Zentrische Streckung < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Dreieck ZAB wird von Z aus auf das Dreieck ZA'B' gestreckt (m>0). Die Fläche des Vierecks AA'B'B ist viermal so groß wie die Fläche des Dreiecks ZAB. Berechne den Streckfaktor m! |
Hallo ihr da draußen,
ich habe keine Ahnung wie ich ohne Koordinaten auf eine
Lösung kommen kann/soll. Wäre nett wenn mir jemand
helfen könnte, danke schon mal im Voraus.
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Hallo Mausibaerle
Bei einer Zentrischen Streckung ist das Verhältnis der Bildstrecken und ursprünglichen Strecken wegen den Strahlensätzen immer m.
Nun kannst du folgende Überlegung anstellen.
Im Dreieck errechnet sich die Fläche mit [mm]\bruch{g*h}{2}=A[/mm]. Dabei sind g und h (Grundlinie und dazugehörige Höhe) jeweils Strecken. Nach der zentrischen Streckung berechnest du die Fläche erneut, einfach mit um m gestrecktem g ung h. Also [mm]\bruch{mg*mh}{2}=\bruch{m^{2}*g*h}{2}=m^{2}\bruch{g*h}{2}=m^{2}A[/mm]. Nun weisst du, dass sich die Fläche bei Durchführung einer zentrischen Streckung um [mm]m^{2}[/mm] vervielfacht. Um m zu bekommen ist nur noch Wurzelziehen von Nöten, was unter der Bedingung [mm]m>0[/mm] zu einem eindeutigen Resultat führt.
Grüsse von Cristina
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Wie lautet dann das Ergebnis?? m* [mm] \wurzel{A}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Fr 19.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wie lautet dann das Ergebnis?? m* [mm]\wurzel{A}[/mm]
Das ist doch kein Ergebnis, du suchst doch m! und was ist A?
Zeichne das erstmal, also Dreieck ZAB, Flaeche F dann ein Stueck strecken, das Viereck einzeichnen , das hat Flaeche 4F. Welche Flaeche hat dann das neue Dreieck ZA'B' ?
Damit kennst du den Vergroesserungsfaktor, und [mm] m^2= [/mm] dieser Vergroesserungsfaktor.
Gruss leduart
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| Aufgabe | | Ein Dreieck ZAB wird von Z aus auf das Dreieck ZA'B' gestreckt (m>0). Die Fläche des Vierecks AA'B'B ist viermal so groß wie die Fläche des Dreiecks ZAB. Berechne den Streckfaktor m! |
Hallo ihr,
ich hab diese Frage schon einmal zu einem früheren Zeitpunkt gestellt aber leider nur eine Teilantwort bekommen, wäre nett wenn mir jemand den kompletten Lösungsweg so schicken könnte, dass ichs dann selber auch verstehen und andere Aufgaben lösen kann. Danke für eure Hilfe!!
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Aloha hé,
ich werde mal versuchen es dir aufzuschreiben:
1. Du zeichnest dir dein Startdreieck [mm] \Delta [/mm] ZAB.
2. Durch den selben Punkt Z zeichnest du das erweiterte Dreieck [mm] \Delta [/mm] ZA'B' indem du schlichtweg die Seiten ZA und ZB weiter verlängerst und an irgendeiner Stelle eine Parallele zu AB durchziehst.
3. Du verwendest ein paar Rechengesetze (wenn sie dir nicht bekannt sein sollten, müssten wir uns da was einfallen lassen):
a) Die ![[]](/images/popup.gif) Flächenberechnung des Allgemeinen Trapez wird hier wenig helfen. Aber schau dir mal das Gezeichnete an! Offenbar lässt sich der Flächeninhalt des Trapetzes AA'BB' auch bestimmen indem du von der Fläche des großen Dreiecks [mm] \Delta [/mm] ZA'B' gerade die Fläche des kleinen Dreiekcs [mm] \Delta [/mm] ZAB abziehst. DAS ist gut :)
b) Du kannst die Fläche von Dreieck [mm] \Delta [/mm] ZAB berechnen durch: [tex]\overline{ZA}*\overline{AB}/2[/tex]
c) Du kannst die Fläche von Dreieck [mm] \Delta [/mm] ZA'B' berechnen durch: [tex]\overline{ZA'}*\overline{A'B'}/2[/tex]
d) Du weisst nach Voraussetzung der Aufgabe: [tex]\overline{ZA'} = m* \overline{ZA}[/tex]
e) Nach den guten alten Strahlensätzen gilt: [tex]\overline{ZA} / \overline{AB} = \overline{ZA'} /\overline{A'B'} [/tex]. Unter Berücksichtigung von b), c) und d) weißt du somit: [tex] \overline{A'B'} = m* \overline{AB} [/tex]
f) Du weißt - ebenfalls nach Voraussetzung - dass gilt: Trapezpläche = 4 * Dreiecksfläche von [mm] \Delta [/mm] ZAB!
Somit hast du alles, was du brauchst. Jetzt müssen wir das nur noch zusammenbasteln.
f) liefert: [tex] A_{Trapez}(AA'BB') = 4 * A_{\Delta}(ZAB) [/tex]
a) liefert: [tex] 4 * A_{\Delta}(ZAB) = A_{\Delta}(ZA'B') - A_{\Delta}(ZAB) [/tex]
Umformung ergibt: [tex] 5 * A_{\Delta}(ZAB) = A_{\Delta}(ZA'B')[/tex]
Nach c) ergibt sich: [tex] 5 * A_{\Delta}(ZAB) = \bruch{\overline{ZA'}*\overline{A'B'}}{2}[/tex]
nach e) kannst du nun einsetzen und bekommst: [tex] 5 * A_{\Delta}(ZAB) = \bruch{m* \overline{ZA}* m* \overline{AB}}{2}[/tex]
weitere Umformung und Zusammenfassen gemäß b) liefert nun: [tex] 5 * A_{\Delta}(ZAB) = m^{2}* A_{\Delta}(ZAB)[/tex]
Somit weißt du: [tex]m = \pm \wurzel{5} [/tex].
Hoffe das reicht dir so.
Namárie,
sagt ein Lary, wo nun schlafen geht.
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b) Du kannst die Fläche von Dreieck $ [mm] \Delta [/mm] $ ZAB berechnen durch: [mm] \overline{ZA}*\overline{AB}/2
[/mm]
c) Du kannst die Fläche von Dreieck $ [mm] \Delta [/mm] $ ZA'B' berechnen durch: [mm] \overline{ZA'}*\overline{A'B'}/2 [/mm]
Ich kenne zur Berechnung eines Dreiecks nur die Formel [mm] \bruch{g*h}{2}
[/mm]
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Hallo Mausibaerle,
> b) Du kannst die Fläche von Dreieck [mm]\Delta[/mm] ZAB berechnen
> durch: [mm]\overline{ZA}*\overline{AB}/2[/mm]
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> c) Du kannst die Fläche von Dreieck [mm]\Delta[/mm] ZA'B' berechnen
> durch: [mm]\overline{ZA'}*\overline{A'B'}/2[/mm]
>
> Ich kenne zur Berechnung eines Dreiecks nur die Formel
> [mm]\bruch{g*h}{2}[/mm]
in der Antwort von Cristina steht eigentlich schon alles drin...
Denke dir eine Senkrechte von Z aus auf die gegenüberliegenden Seiten gezeichnet (Höhe der Dreiecke), dann kannst du auch mit deiner Formel weiterrechnen, wenn du überlegst, in welchem Verhältnis die beiden Höhen zueinander stehen.
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Sa 20.01.2007 | | Autor: | informix |
Hallo Mausibaerle,
> Ein Dreieck ZAB wird von Z aus auf das Dreieck ZA'B'
> gestreckt (m>0). Die Fläche des Vierecks AA'B'B ist viermal
> so groß wie die Fläche des Dreiecks ZAB. Berechne den
> Streckfaktor m!
Es ist ausgesprochen unhöflich, dieselbe Frage noch einmal zu stellen, ohne auf die Lösungsideen von anderen einzugehen!
Deshalb habe ich beide Stränge hier zusammengeführt.
> Hallo ihr,
> ich hab diese Frage schon einmal zu einem früheren
> Zeitpunkt gestellt aber leider nur eine Teilantwort
> bekommen, wäre nett wenn mir jemand den kompletten
> Lösungsweg so schicken könnte, dass ichs dann selber auch
> verstehen und andere Aufgaben lösen kann. Danke für eure
> Hilfe!!
Hilfe heißt bei uns: Hilfe zur Selbsthilfe!
Fertige Lösungen gibt's bei uns erst nach echten eigenen Lösungsanstrengungen...
Gruß informix
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![[]](http://www.zum.de/dwu/depot/mvl006f.gif){kind=small}
Flächenberechnung des Allgemeinen Trapez