Zerfällungskörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:14 Do 23.10.2008 | | Autor: | tugba |
| Aufgabe | Wir betrachten die irrationalen Zahlen [mm] \alpha=\wurzel[3]{3} [/mm] und [mm] \beta=\wurzel{5}, [/mm] sowie die zugehörigen Körpererweiterungen
[mm] \IQ\subset\IQ(\alpha)\subset\IQ(\alpha,\beta),
[/mm]
[mm] \IQ\subset\IQ(\beta)\subset\IQ(\alpha,\beta),
[/mm]
Dies sind alles Unterkörper von [mm] \IR.
[/mm]
Wie zerfällt [mm] f(x):=x^{6}-15x^{4}-6^{3}+75x^{2}-90x-116 [/mm] über dem Körper [mm] \IQ(\beta)? [/mm] |
Hallo,
Es wäre nett, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen würde. Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, ich weis nicht was wirklich von mir verlangt wird. Soll ich hier den Zefällungskörper bestimmen, wenn ja wie kann ich das machen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Fr 24.10.2008 | | Autor: | statler |
Hallo nach Nienburg!
> Wir betrachten die irrationalen Zahlen [mm]\alpha=\wurzel[3]{3}[/mm]
> und [mm]\beta=\wurzel{5},[/mm] sowie die zugehörigen
> Körpererweiterungen
> [mm]\IQ\subset\IQ(\alpha)\subset\IQ(\alpha,\beta),[/mm]
> [mm]\IQ\subset\IQ(\beta)\subset\IQ(\alpha,\beta),[/mm]
> Dies sind alles Unterkörper von [mm]\IR.[/mm]
>
> Wie zerfällt [mm]f(x):=x^{6}-15x^{4}-6x^{3}+75x^{2}-90x-116[/mm] über
> dem Körper [mm]\IQ(\beta)?[/mm]
> Es wäre nett, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen
> würde. Mein Problem bei dieser Aufgabe ist, ich weiss nicht
> was wirklich von mir verlangt wird. Soll ich hier den
> Zefällungskörper bestimmen, wenn ja wie kann ich das
> machen.
Was du machen sollst, steht doch da: Du sollst dieses Polynom über [mm]\IQ(\beta)[/mm] zerfällen. Also sollst du dieses Polynom als Produkt von irreduziblen Polynomen mit Koeffizienten in [mm]\IQ(\beta)[/mm] darstellen. Im günstigsten Fall zerfällt das in Linearfaktoren, dann hättest du den Zerfällungskörper auch gleich gefunden. Dann wäre allerdings das Polynom selbst nicht irreduzibel (über [mm] \IQ). [/mm] Ist es das, ich weiß es nicht.
Nehmen wir mal an, daß es so ist. Dann wäre eine Nullstelle von f vom Grad 6 über [mm] \IQ.[/mm] [mm]\IQ(\beta)[/mm] ist vom Grad 2. Was könnte man da so bzgl. der Zerlegung vermuten?
Gruß von der Elbe an die Weser
Dieter
PS: Ich war auf der ASS.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 15:08 So 26.10.2008 | | Autor: | stinkestern |
Hallo tugba, hallo statler,
ich habe allerdings als Minimalpolynom [mm]f(x)=x^6-15 x^4+4 x^3 + 225x^2+60x+4[/mm] für [mm]\wurzel[3]{3}+ \wurzel{5}[/mm]. Ich kann ja mal aufschreiben, wie ich dahin gekommen bin, vielleicht findet ihr ja einen Fehler:
[mm]\wurzel[3]{3}+ \wurzel{5}= x[/mm]
[mm]3=(x- \wurzel{5})^3[/mm]
[mm]3=x^3-3x^2 \wurzel{5}+15x+5[/mm]
[mm]0=x^3-3x^2 \wurzel{5} +15x+2[/mm]
[mm]3\wurzel{5}x^2=(x^3+15x+2)^2[/mm]
[mm]0=x^6-15x^4+4x^3+25x^2+60x+4[/mm]
> Dann wäre eine Nullstelle
> von f vom Grad 6 über [mm]\IQ.[/mm] [mm]\IQ(\beta)[/mm] ist vom Grad
> 2. Was
> könnte man da so bzgl. der Zerlegung vermuten?
>
Dazu habe ich überlegt, dass das Polynom entweder je in einen Faktor 3., 2. und 1. Grades zerfällt oder in ein Polynom3. Grades und drei Linearfaktoren. Aber wie bestimmt man diese Faktoren? Da habe ich echt keine Idee. Vielleicht könnt ihr mir ja auf die Sprünge helfen.
Liebe Grüße
stinkestern
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 So 26.10.2008 | | Autor: | tugba |
Hallo stinkestern ,
>
> ich habe allerdings als Minimalpolynom [mm]f(x)=x^6-15 x^4+4 x^3 + 225x^2+60x+4[/mm]
> für [mm]\wurzel[3]{3}+ \wurzel{5}[/mm]. Ich kann ja mal
> aufschreiben, wie ich dahin gekommen bin, vielleicht findet
> ihr ja einen Fehler:
> [mm]\wurzel[3]{3}+ \wurzel{5}= x[/mm]
> [mm]3=(x- \wurzel{5})^3[/mm]
>
> [mm]3=x^3-3x^2 \wurzel{5}+15x+5[/mm]
> [mm]0=x^3-3x^2 \wurzel{5} +15x+2[/mm]
>
> [mm]3\wurzel{5}x^2=(x^3+15x+2)^2[/mm]
> [mm]0=x^6-15x^4+4x^3+25x^2+60x+4[/mm]
>
Leider hast du ein Rechenfehler bei deiner Lösungsweg. Obwohl ich die Aufgabe anders gelöst habe, sollte bei deiner Lösungsweg auch das gleiche minimalpolynom rauskommen:
[mm]\wurzel[3]{3}+ \wurzel{5}= x[/mm]
[mm]3=(x- \wurzel{5})^3[/mm]
[mm] 3=x^{3}-3x^{2}\wurzel{5}+15x-5\wurzel{5}
[/mm]
[mm] 0=x^{3}-3x^{2}\wurzel{5}+15x-5\wurzel{5}-3
[/mm]
[mm] x^{3}+15x-3=3x^{2}\wurzel{5}+5\wurzel{5} [/mm] | [mm] (...)^{2}
[/mm]
[mm] x^{6}+30x{4}-6x^{3}+225x^{2}-90x+9=45x^{4}+150x^{2}+125
[/mm]
[mm] 0=x^{6}-15x^{4}-6x^{3}+75x^{2}-90x-116
[/mm]
PS: ich vermute du besucht auch die Vorlesung von Prof. Wewers
Liebe Grüße,
tugba
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 So 26.10.2008 | | Autor: | tugba |
Hallo statler,
Erstmal danke für deine Hilfe, aber ich kann die Aufgabe trotzdem nicht lösen.
Mir ist nicht klar wie ich die Aufgabe lösen könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:36 Mo 27.10.2008 | | Autor: | tayfun |
[mm] f=(x^3+3x^2\wurzel{5}+15x-3+5\wurzel{5})(x^3-3x^2\wurzel{5}+15x-3-5\wurzel{5})
[/mm]
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