Zerlegung in Elementarfaktoren < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:45 So 28.12.2008 | | Autor: | larifari |
| Aufgabe | [mm] P(x)=x^{4}+3x^{3}-2x^{2}-12x-8
[/mm]
[mm] x_{0}=-2;x_{1}=2;x_{2}=3 [/mm] |
Zunächst soll ich mittels Hornerschema die angegebenen Stellen berechen. Das ist mir soweit klar und ich komme auf P(2)=P(-2)=0 und P(3)=100.
Anschließend soll ich P(x) in reele Elementarfaktoren zerlegen? Bekannt ist mir, dass das irgendwas mit den Nullstellen zutun hat und eine äquivalente Gleichung dabei herauskommen muss.
Aber wie geh ich vor? Gibts es da eine feste Vorgehensweise oder kann ich teilweise durch probieren solange rumtüfteln bis ich eine Gleichung raushab?
Grüße
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Hallo,
Du hast doch schon zwei Nullstellen!
Wenn [mm] x_0 [/mm] eine Nullstelle des Polynoms ist, kannst Du den Faktor [mm] (x-x_0) [/mm] ausklammern. Das machst Du für die beiden bekannten Nullstellen. In der dritten Klammer steht dann noch ein quadratisches Polynom. Dann ermittelst Du mit der p,q-(oder der Mitternachts-)Formel dessen Nullstellen, sofern vorhanden, und zerlegst es ggf. in zwei weitere Faktoren.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:04 So 28.12.2008 | | Autor: | larifari |
So ganz bin ich noch nicht dahinter gestiegen:
Ich habe jetzt also: P(x)= (x-2)*(x-2)*(Rest, der mich zu meinen ursprünglichen P(x) bringt) oder?
Von der 3. Klammer berechne ich die Nullstelle und habe dann (x-Nullstelle der 3.Klammer)? Soweit richtig?
Als Ergebnis sollte ich auf [mm] P(x)=(x+2)^{2}(x+1)(x-2). [/mm] Wo kommt das Quadrat her, such ich mir das selbst um eine korrekte Gleichung zu erhalten?
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Deine schon bekannten Nullstellen sind [mm] x_1=+2 [/mm] und [mm] x_2=-2.
[/mm]
Klammere also [mm] (x-x_1)*(x-x_2)=(x-2)*(x+2) [/mm] aus, dann ergibt sich der Rest von selbst, auch das Quadrat.
Die dritte Klammer wird nämlich weitere zwei Nullstellen ergeben: [mm] x_3 [/mm] und [mm] x_4, [/mm] so dass Du die beiden letzten Faktoren [mm] (x-x_3) [/mm] und [mm] (x-x_4) [/mm] erhältst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 So 28.12.2008 | | Autor: | larifari |
So, dass Prinzip ist mir jetzt klar? Aber wie klammer ich richtig aus? Wäre vllt jemand so nett mir zumindest mal den anfang zu zeigen?
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Weißt Du, wie Polynomdivision geht?
Wenn nein, such mal. Das findest Du schnell.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 So 28.12.2008 | | Autor: | larifari |
Ach ja genau. Wie peinlich, hätte ich selbst drauf kommen müssen. Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mo 29.12.2008 | | Autor: | larifari |
| Aufgabe | [mm] P(x)=x^{5}-12x^{4}+56x^{3}-120x^{2}+100x
[/mm]
[mm] x_{0}=4; x_{1}=3+i [/mm] |
Hallo, wieder folgendes Problem. Mit Hornerschema habe ich P(x) berechnet und nun möchte ich das ganze in reele Elementarfaktoren zerlegen.
[mm] P(x_{0})=16 [/mm] und [mm] P(x_{1})=0
[/mm]
Jetzt habe ich ja eine komplexe Zahl als Nullstelle. Wie geh ich damit um?
Zunächst habe ich x ausgeklammert -->
[mm] P(x)=x(x^{4}-12x^{3}+56x^{2}-120x+100)
[/mm]
Als Lösung von [mm] (x^{4}-12x^{3}+56x^{2}-120x+100) [/mm] komme ich auf meine Komplexe Zahl 3+i? Was muss ich nun tun um auf das Ergebnis [mm] P(x)=x(x^{2}-6x+10)^{2} [/mm] zu kommen?
Grüße
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Hallo larifari,
> [mm]P(x)=x^{5}-12x^{4}+56x^{3}-120x^{2}+100x[/mm]
> [mm]x_{0}=4; x_{1}=3+i[/mm]
> Hallo, wieder folgendes Problem. Mit
> Hornerschema habe ich P(x) berechnet und nun möchte ich das
> ganze in reele Elementarfaktoren zerlegen.
>
> [mm]P(x_{0})=16[/mm] und [mm]P(x_{1})=0[/mm]
>
> Jetzt habe ich ja eine komplexe Zahl als Nullstelle. Wie
> geh ich damit um?
Damit folgt ja auch, daß das ![[]](/images/popup.gif) konjugiert komplexe dieser Zahl auch Nullstelle des Polynoms ist.
>
> Zunächst habe ich x ausgeklammert -->
>
> [mm]P(x)=x(x^{4}-12x^{3}+56x^{2}-120x+100)[/mm]
>
> Als Lösung von [mm](x^{4}-12x^{3}+56x^{2}-120x+100)[/mm] komme ich
> auf meine Komplexe Zahl 3+i? Was muss ich nun tun um auf
> das Ergebnis [mm]P(x)=x(x^{2}-6x+10)^{2}[/mm] zu kommen?
Nun, wie oben schon erwöhnt, ist das konjugiert komplexe auch eine Nullstelle des Polynoms.
Somit kannst Du den Faktor [mm]\left(x-3-i\right)\left(x-3+i\right)[/mm] aus diesem Polynom noch ausklammern.
>
> Grüße
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Mo 29.12.2008 | | Autor: | larifari |
Ah genau. Alles klar.Danke
Eine kleine Frage noch: Das ganze wird ja quadriert [mm] ((x^{2}-6x+10)^{2}). [/mm]
Liegt das daran, weil ja jede Nullstelle doppelt vorkommt? Also die konjunigert komplexe und die Ursprüngliche und andersrum?
[mm] x_{1}=3+i
[/mm]
[mm] x_{2}=3-i
[/mm]
und
[mm] x_{3}=3-i
[/mm]
[mm] x_{4}=3+1 [/mm] ?
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Hallo larifari,
> Ah genau. Alles klar.Danke
>
> Eine kleine Frage noch: Das ganze wird ja quadriert
> [mm]((x^{2}-6x+10)^{2}).[/mm]
>
> Liegt das daran, weil ja jede Nullstelle doppelt vorkommt?
Genau so ist es.
> Also die konjunigert komplexe und die Ursprüngliche und
> andersrum?
>
> [mm]x_{1}=3+i[/mm]
> [mm]x_{2}=3-i[/mm]
>
> und
> [mm]x_{3}=3-i[/mm]
> [mm]x_{4}=3+1[/mm] ?
>
Gruß
MathePower
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