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| Aufgabe | Der Chef eines schwäbischen Handwerkbetriebs
sucht nach dem optimalen Standort für sein Büro. Dazu notiert
er sich ausgehend von seiner Wohnung als Ursprung eines kartesischen
Koordinatensystems die genauen Positionen der Wohnsitze seiner Mitarbeiter
und gewichtet den Aufwand für deren Fahrtwege (proportional
zum Quadrat des Abstands der Wohnung zum Büro) je nachdem, ob der
entsprechende Mitarbeiter mit dem Auto (Gewichtung 1), dem Fahrrad
(Gewichtung 2) oder zu Fuß (Gewichtung 5) zur Arbeit kommt.
Name | Koordinate | Gewichtung
Chef (0,0) 5
Anton (5.8,3.5) 1
Bernd (4.5,4.5) 2
Carola (2.3,8.1) 1
Dagmar (0.8,-1.1) 2
Emil (4.0,3,6) 5
Wo muss sein Büro stehen, damit der Aufwand für die Fahrtwege minimal wird? |
Hallo,
habe mir nun folgende Zielfunktion aufgestellt:
[mm] $f(x,y)=\summe_{i=1}^{5}c_i((x-a_i)^2+(y-b_i)^2)$
[/mm]
Den Wohnort vom Chef hab ich in der Summe nicht drin, da ich den glaube nicht braucht. Was micht jetzt aber stutzig macht ist, dass wir ein Beispiel in der Vorlesung hatten, wo aber statt dem [mm] $c_i$ [/mm] ein [mm] $c_i^2$ [/mm] stand. Aber diese Terme [mm] $(x-a_i)^2+(y-b_i)^2$ [/mm] sollten doch genau das Quadrat des Abstandes beschreiben.
Ich hab dann die Werte eingesetzt und fuer die partiellen Ableitungen folgendes:
[mm] $\frac{\partial f}{\partial x}= [/mm] 22x-26,7$
[mm] $\frac{\partial f}{\partial }= [/mm] 22y-37,5$
Nullsetzen erhalte ich [mm] $x=\frac{26,7}{22}$ [/mm] und [mm] $y=\frac{37.5}{22}$ [/mm] als kritischen Punkt.
Die zweiten Ableitungen ergeben sich dann als:
[mm] $\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}=22$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}=22$
[/mm]
[mm] $\frac{\partial ^2f}{\partial x \partial y}=\frac{\partial ^2f}{\partial y \partial x}=0$
[/mm]
Mit Quadratischer Form [mm] $Q(h_1,h2)=a_{11}h_1^2+a_{12}h_1h_2+a_{22}h_2^2 [/mm] = [mm] 22h_1^2+0h_1h_2+22h_2^2=22(h_1^2h_2^2) [/mm] >0$ sehe ich dass der Punkt ein Minimum ist. Der Punkt (1.21,1.7) macht mich von der Lage her aber doch etwas stutzig. Hab ich da einen Fehler bei der Zielfunktion gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 So 28.06.2009 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
der Fehler liegt schon in der Zielfunktion. Den Aufwand des Chefs musst du natürlich auch berücksichtigen, denn für den Chef ist der Aufwand von seiner Wohnung [mm] $(a_i,b_i)=(0,0)$ [/mm] zum Büro $(x,y)$
[mm] $5\cdot [/mm] [ [mm] (x-a_i)^2 [/mm] + [mm] (y-b_i)^2 [/mm] ] = [mm] 5\cdot [/mm] [ [mm] (x-0)^2 [/mm] + [mm] (y-0)^2 [/mm] ] = [mm] 5\cdot [/mm] [ [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ]$
und damit durchaus relevant. Dann sollte die rechnerische Lösung auch geometrisch nachvollziehbar sein.
Gruß, zetamy
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