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| Aufgabe | (a)Seien [mm] 1\le a\le9 [/mm] und [mm] 1\le b\le9 [/mm] beliebige Ziffern. Beweisen Sie: 11|100*a+b <=> a+b=11
(b) Sei [mm] 1\le a\le9 [/mm] eine beliebe Ziffer. Beweisen Sie, dass 9a+1 genau dann eine Quadratzahl ist, wenn a=7 gilt |
Hallo Leute,
(a) Wie beweise ich hier die Äquivalenz?
Die Aussage 11|100*(a+b) wäre wahrscheinlich richtig leicht bewiesen, aber 11|100*a+b bringt mich sehr ins Schwitzen^^.
Habt ihr bitte ein paar nette Tipps :) ?
(b) [mm] 9a+1=(2n)^2 [/mm] (n muss gerade sein)
<=> 9a=(2n-1)*(2n+1)
Da a=7 gilt => 9=(2n+1) <=> n=4
Also kommt tatsächlich a=7 raus.
Grüße, Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Di 15.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Die Richtung [mm] "\Leftarrow" [/mm] ist einfach:
aus a+b=11 folgt 100a+b = 11(9a+1)
Zu [mm] "\Rightarrow": [/mm] es gibt ein n [mm] \in \IN [/mm] mit:
100a+b = 11n
hieraus folgt
a+b = 11(n-9a)
Zeige nun : n -9a=1
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:37 Di 15.12.2009 | | Autor: | Blaub33r3 |
Danke schön
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| Aufgabe | | (c) Seien [mm] 1\le a\le9 [/mm] und [mm] 1\le b\le9 [/mm] beliebige Ziffern. Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n der Form n=1000*a+100*a+10*b+b, welche Quadratzahlen sind! Beweisen Sie Ihre Antwort! (Tipp: Berechnen Sie zunächst den Quotienten [mm] \bruch{n}{11} [/mm] und benutzen Sie anschließend (a) und (b)) |
Hey, ich wollte jetzt keinen neuen Thread eröffnen, da diese Aufgabe sich direkt zu den bereits gerechnet (a) und (b) hier beziehen!
Hier mein Ansatz:
11|1000*a+100*a+10*b+b <=> 11|11(1000a+b)
Damit wäre also der Quotient [mm] \bruch{n}{11}=1000a+b
[/mm]
Und wie nehme ich damit nun Bezug zu (a) bzw (b)? Ich schätze ich muss wieder auf etwas äquivalentes hinaus, aber wie?
lg, daniel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Di 15.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> (c) Seien [mm]1\le a\le9[/mm] und [mm]1\le b\le9[/mm] beliebige Ziffern.
> Bestimmen Sie alle natürlichen Zahlen n der Form
> n=1000*a+100*a+10*b+b, welche Quadratzahlen sind! Beweisen
> Sie Ihre Antwort! (Tipp: Berechnen Sie zunächst den
> Quotienten [mm]\bruch{n}{11}[/mm] und benutzen Sie anschließend (a)
> und (b))
> Hey, ich wollte jetzt keinen neuen Thread eröffnen, da
> diese Aufgabe sich direkt zu den bereits gerechnet (a) und
> (b) hier beziehen!
>
> Hier mein Ansatz:
>
> 11|1000*a+100*a+10*b+b <=> 11|11(1000a+b)
>
> Damit wäre also der Quotient [mm]\bruch{n}{11}=1000a+b[/mm]
Da hast du dich aber verrechnet! Es ist [mm] $\frac{n}{11} [/mm] = 100 a + b$.
> Und wie nehme ich damit nun Bezug zu (a) bzw (b)? Ich
> schätze ich muss wieder auf etwas äquivalentes hinaus,
> aber wie?
Wenn $n$ eine Quadratzahl ist und durch 11 teilbar ist, so muss es auch durch [mm] $11^2$ [/mm] teilbar sein. Also muss [mm] $\frac{n}{11}$ [/mm] ebenfalls durch 11 teilbar sein. Schau dir doch mal (a) an.
Und schliesslich berechne [mm] $\frac{n}{11^2}$ [/mm] (im Fall [mm] $11^2 \mid [/mm] n$) und wende (b) an.
LG Felix
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Hallo Leute,
Okay [mm] \bruch{n}{11}=100a+b
[/mm]
nach (a) gilt [mm] \bruch{n}{11}=11(9a+1)
[/mm]
<=> [mm] n=11^2*((9a+1) [/mm] => [mm] 11^2 [/mm] | n Was bringt uns das jetzt weiter?
Wie kann ich darauf (b) anwenden? Ich bin schon die ganze Zeit mit meinem Mitbewohner am Knobbeln, aber wir kommen schlicht nicht weiter.
Grüße Daniel & David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:14 Mi 16.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo Leute,
>
> Okay [mm]\bruch{n}{11}=100a+b[/mm]
>
> nach (a) gilt [mm]\bruch{n}{11}=11(9a+1)[/mm]
>
> <=> [mm]n=11^2*((9a+1)[/mm] => [mm]11^2[/mm] | n Was bringt uns das jetzt
> weiter?
> Wie kann ich darauf (b) anwenden? Ich bin schon die ganze
> Zeit mit meinem Mitbewohner am Knobbeln, aber wir kommen
> schlicht nicht weiter.
Na, wenn [mm] $a^2$ [/mm] ein Teiler von $b$ ist, dann ist $b$ genau dann ein Quadrat, wenn [mm] $\frac{b}{a^2}$ [/mm] ein Quadrat ist.
LG Felix
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Ok, mir dämmert es nun ein wenig...
Wir nehmen an n sei eine Quadartzahl mit 1100a+11b=11(100a+b), diese ist lustigerweise durch 11 teilbar. => 11|n.
Aus der Eigenschaft n sei Quadrat und 11|n => [mm] 11^2|n [/mm] . Man, kann das auch zeigen mit 11|n <=> n=11*100(a+b) <=> n=11*11*(9a+1) => [mm] n=11^2*(9a+1) [/mm] => [mm] 11^2|n [/mm] . Ist das so richtig gefolgert?
Nun wissen wir [mm] \bruch{n}{11^2}=9a+1 [/mm] => 9a+1 muss eine Quadratzahl sein und das ist für a=7 der Fall. Also heisst unsere gesuchte Zahl 7744.
Um b zu berechnen hab ich nochmal neu angesetzt:
a+b=11 => a=11-b => 100a+b=11(100-9b)
Jetzt zeige ich das 100-9b eine Quadratzahl ist genau dann wenn b=4.
Ob das Quadrat gerade oder ungerade ist kommt ja auf b an, da ich weiß b=4
=> [mm] 100-9b=(2n)^2 [/mm] => 9b=(10-2n)(10+2n)
Da b<9 => 10-2n=4 => n=3
Aber jetzt stelle ich leider fest [mm] 100-9*4=64\not=(2*3)^2=36? [/mm] Wie kann ich mir das erklären? Zwar ist 64 auch eine Quadratzahl aber ich dachte ich das Quadrat davon wäre [mm] (2n)^2. [/mm] Dann stimmt ja nicht die Gleichheit der Gleichung. Irgendwo müsste ein dicker Fehler drin sein...nur wo?
Liebe Grüße Daniel
Ihr könnt den Thread schließen^^....Mir ist aufgefallen das auch hier die Gleichung a+b=11 gilt...Damit wäre b leicht berechnet ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Fr 18.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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