Zinsen berechnen < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:39 Mo 03.01.2011 | | Autor: | sax318 |
Hallo,
ich habe hier ein konkretes beispiel, es geht darum. ich möchte wissen, wie ich den tageszinsatz für mein konto berechne.
1% Zinsen
1/365 = 0,00273973
Endkapital = Anfangkapital * Zinsen^(Laufzauf in Jahren)
Ek = 10000*0,00273973^(0,00273973)
korrekt?.. ne oder?
Ek = 10.000 * 0,98396581655771102752235438922942
Ek = 9839,6581655771102752235438922942
Geld würde weniger Wert werden.. das wäre schlecht..
wieso ich das haben will nunja ich hatte bis mai geld auf der bank und ab august wieder dazwischen gar nichts. ich möchte wissen wie die zum betrag der zinsen kommen.
danke schon mal!
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:19 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> ich habe hier ein konkretes beispiel, es geht darum. ich
> möchte wissen, wie ich den tageszinsatz für mein konto
> berechne.
>
> 1% Zinsen
> 1/365 = 0,00273973
>
> Endkapital = Anfangkapital * Zinsen^(Laufzauf in Jahren)
>
> Ek = 10000*0,00273973^(0,00273973)
>
>
> korrekt?.. ne oder?
>
> Ek = 10.000 * 0,98396581655771102752235438922942
> Ek = 9839,6581655771102752235438922942
> Geld würde weniger Wert werden.. das wäre schlecht..
>
> wieso ich das haben will nunja ich hatte bis mai geld auf
> der bank und ab august wieder dazwischen gar nichts. ich
> möchte wissen wie die zum betrag der zinsen kommen.
>
> danke schon mal!
Deine Formel ist falsch, und Du setzt auch falsch ein (Zinsen von 1% sind nicht identisch mit 1/365).
Bei einem Startkapital [mm] $S\,$ [/mm] hast Du nach einem Jahr bei einem Zinssatz von 1 Prozent folgendes Guthaben [mm] $G_1$ [/mm] auf Deinem Konto:
[mm] $$G_1=S+1\%*S=1,01*S\,.$$ [/mm]
Im darauffolgenden Jahr sei Dein Guthaben [mm] $G_2\,.$ [/mm] Dann hast Du, weil dann [mm] $G_1$ [/mm] die Rolle von [mm] $S\,$ [/mm] übernimmt, nun das Guthaben
[mm] $$G_2=1,01*G_1=S*1,01^2$$
[/mm]
etc. pp., also nach [mm] $n\,$ [/mm] Jahren
[mm] $$G_n=S*1,01^n\,.$$
[/mm]
Wenn das jetzt pro Tag genauso berechnet wird, so hast Du demnach
[mm] $$G_{1/365}=S*1,01^{1/365}\,.$$
[/mm]
Zum konkreten Rechnen ist das schlecht, weil [mm] $1,01^{1/365} \approx 1,01^{0,00273973}$ [/mm] sehr nahe an der [mm] $1\,$ [/mm] liegt. Das ganze kannst Du aber auch nicht linear rechnen (d.h. Du kannst nicht einfach die Zinsen eines Tages entsprechend vervielfachen), weil die obige Formel das eben nicht zuläßt. (Eine Verdopplung des Zeitraumes verdoppelt nicht die Zinsen - schau' Dir vor allem mal an, wie Exponentialfunktionen verlaufen).
Du musst dann schon so rechnen, wenn Du die einzelnen Zinsen nachrechnen willst:
Startkapital [mm] $S\,,$ [/mm] das Geld ist dann [mm] $n\,$ [/mm] Tage angelegt, daher
[mm] $$G_{n\;\;\;Tage}=S*1,01^{n/365}\,.$$
[/mm]
Du siehst bspw.:
Nach einem Jahr hättest Du wegen [mm] $1,01^1=1,01$ [/mm] logischerweise auch 1 Prozent zusätzlich zu Deinem Geld dazubekommen, aber nach z.B. 20 Jahren hättest Du wegen [mm] $1,01^{20} \approx [/mm] 1.2202$ sogar mehr als 20 Prozent, nämlich etwa 22,02 Prozent Zinsen bekommen.
Richtig auffällig wird das bei größeren Zinssätzen: Nehmen wir mal unrealistischerweise einen Prozentsatz von 5 Prozent, so hast Du nach 10 Jahren wegen [mm] $1,05^{10} \approx [/mm] 1.6289$ etwa 62,89 Prozent zusätzlich zum Startkapital bekommen, und nach 20 Jahren wegen [mm] $1.05^{20}=2.6533$ [/mm] dann sogar mehr als das anderthalbfache zu deinem Startguthaben zusätzlich bekommen.
Also, für Dich besser:
[mm] $S\,:$ [/mm] Startkapital, [mm] $n:\,$ [/mm] Anzahl der aufeinanderfolgenden Tage, an denen nix am Konto geändert wird und $1$ Prozent Zinsen, dann rechne
[mm] $$S*1,01^{n/365}\,.$$
[/mm]
Ziehst Du davon das Startkapital [mm] $S\,$ [/mm] ab, so erkennst Du, wieivel Geld die Bank Dir an Zinsen im entsprechenden Zeitraum gegeben hat.
Bei [mm] $5\,$ [/mm] Prozent hättest Du entsprechend die 1,01 durch 1,05 zu ersetzen.
Also Beispiel:
Dein Startguthaben wäre 5000 Euro gewesen, bei 1 Prozent Zinsen hättest Du es 80 Tage lang angelegt:
[mm] $$5000*1,01^{80/365} \approx 5000*1,022=5110\,,$$
[/mm]
macht dann ungefähr 110 Euro Zinsen.
Nach einer gewissen weiteren Zeit hättest Du nun 3000 Euro, bei 2 Prozent Zinsen hättest Du diese 200 Tage lang angelegt:
[mm] $$3000*1,02^{200/365} \approx 3000*1,0109=3032,7\,,$$
[/mm]
macht dann ungefähr 32,7 Euro an Zinsen.
Also in Deiner Notation:
Endkapital = Anfangkapital * (1+p/100)^(Laufzeit in Jahren)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Mo 03.01.2011 | | Autor: | sax318 |
danke vielmals.
und ich dachte die bank hätte sich verrechnet :-( schade..
naja trotzdem herzilchen dank, jetzt verstehe ich zumindest wie man richtig auf diesen betrag kommt ^^ wenigst etwas 
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 15:12 Do 06.01.2011 | | Autor: | Josef |
Hallo,
so werden die Tageszinsen bei einer Bank nicht berechnet.
Viele Grüße
Josef
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 15:46 Do 06.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Josef,
> Hallo,
>
> so werden die Tageszinsen bei einer Bank nicht berechnet.
ich hab's gerade nochmal nachgeschlagen. Es stimmt, eine Bank macht es anscheinend nicht genauso, wie ich es machen würde (die Formel auf den Tag übertragen). Aber näherungsweise kommt da hoffentlich trotzdem das gleiche raus.
Anscheinend überträgt eine Bank die Formel - auch bei Zinseszins - so nur auf gewisse Perioden und berechnet dann zwischen zwei Perioden das ganze anders - evtl. durch entsprechende lineare Funktionen.
Jedenfalls glaube ich, das so ![[]](/images/popup.gif) hier gelesen zu haben.
Wenn Du magst, kannst Du dann ja mal das ganze konkret hinschreiben, wie es dann "richtig bei einer Bank" funktioniert... mathematisch finde ich meins logischer, aber für eine Bank ist das vielleicht unparktikabler.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:26 Do 06.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Josef,
wie glaubst Du denn, dass das ganze zu korrigieren ist? Die Formeln stimmen jedenfalls. Es ist zu beachten, dass es hier um
ZINSESZINS
geht. Was eine Bank da konkret macht, weiß ich nicht. Wenn sie dieses Schema der Zinseszinsrechnung auf einen Tag übertragen wollte, dann müßte sie es jedenfalls aus meiner Sicht in mathematischer Weise so machen!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:37 Do 06.01.2011 | | Autor: | Josef |
> wie glaubst Du denn, dass das ganze zu korrigieren ist? Die
> Formeln stimmen jedenfalls. Es ist zu beachten, dass es
> hier um
>
> ZINSESZINS
>
> geht. Was eine Bank da konkret macht, weiß ich nicht. Wenn
> sie dieses Schema der Zinseszinsrechnung auf einen Tag
> übertragen wollte, dann müßte sie es jedenfalls aus
> meiner Sicht in mathematischer Weise so machen!
>
Bei deiner Berechnung hast du zwei Fehler gemacht:
1. Erfolgt bei der Zinsrechnung der Zinszuschlag bzw. die Zinszahlung an mehreren Zeitpunkten im Jahr, also für den Bruchteil eines Jahres so ist die unterjährige, lineare Verzinsung anzuwenden.
2. Die Anzahl der Zinstage basiert unabhängig von der tatsächlichen Länge des Monats auf der Voraussetzung, dass jeder Monat 30 Tage und das Jahr 360 Tage hat. Diese Berechnungsmethode wurde in Ermangelung schneller Rechenmaschinen eingeführt und wird auch als Methode des kaufmännischen Rechnens bezeichnet. In Deutschland wird sie heute noch hauptsächlich angewendet, wie z.B. bei Sparbüchern, Termineinlagen, Kontokorrentkrediten und den meisten Darlehen.
Viele Grüße
Josef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Do 06.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Josef,
> > wie glaubst Du denn, dass das ganze zu korrigieren ist? Die
> > Formeln stimmen jedenfalls. Es ist zu beachten, dass es
> > hier um
> >
> > ZINSESZINS
> >
> > geht. Was eine Bank da konkret macht, weiß ich nicht. Wenn
> > sie dieses Schema der Zinseszinsrechnung auf einen Tag
> > übertragen wollte, dann müßte sie es jedenfalls aus
> > meiner Sicht in mathematischer Weise so machen!
> >
>
>
> Bei deiner Berechnung hast du zwei Fehler gemacht:
>
> 1. Erfolgt bei der Zinsrechnung der Zinszuschlag bzw. die
> Zinszahlung an mehreren Zeitpunkten im Jahr, also für den
> Bruchteil eines Jahres so ist die unterjährige, lineare
> Verzinsung anzuwenden.
>
> 2. Die Anzahl der Zinstage basiert unabhängig von der
> tatsächlichen Länge des Monats auf der Voraussetzung,
> dass jeder Monat 30 Tage und das Jahr 360 Tage hat. Diese
> Berechnungsmethode wurde in Ermangelung schneller
> Rechenmaschinen eingeführt und wird auch als Methode des
> kaufmännischen Rechnens bezeichnet. In Deutschland wird
> sie heute noch hauptsächlich angewendet, wie z.B. bei
> Sparbüchern, Termineinlagen, Kontokorrentkrediten und den
> meisten Darlehen.
okay, ich gebe zu, dass ich das ganze halt nur aus mathematischer Sicht beschrieben habe. Ich habe auch mittlerweile nachgelesen, dass Banken das nicht so machen, wie sie es aus mathematischer Sicht eigentlich zu machen hätten (jedenfalls aus meiner mathematischen Sichtweise). Den 2en Punkt sollten die Banken aber mittlerweile korrigieren können. Den ersten Punkt finde ich zwar nicht ganz fair (für die Kunden ist es aber wohl sogar mehr als fair, wenn ich das gerade richtig verstehe), aber er ist akzeptabel. Wenn ich das richtig verstehe, zerlegen die Banken quasi das Jahr dann in Bruchteile und berechnen die Zinsen dann ein wenig anders. In Wirklichkeit kann man aus der "Jahresformel" wohl für beide Methoden - also dann quasi sowohl für die von mir "vorgeschlagene", als auch für die, wie die Banken es halt machen, Begründungen finden. Nichts davon ist allerdings wirklich zwingend.
Aber natürlich hast Du Recht: Wenn die Bank es halt so macht, wie Du es beschreibst, dann ist das halt so und mein "Vorschlag" ist dann nicht die Vorgehensweise, wie es in der Realität gehändelt wird. Daher ist Dein Korrektureinwand absolut berechtigt!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:16 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Josef |
Hallo Marcel,
vielen Dank für deine Mitteilung!
> okay, ich gebe zu, dass ich das ganze halt nur aus
> mathematischer Sicht beschrieben habe.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe auch
> mittlerweile nachgelesen, dass Banken das nicht so machen,
> wie sie es aus mathematischer Sicht eigentlich zu machen
> hätten (jedenfalls aus meiner mathematischen Sichtweise).
> Den 2en Punkt sollten die Banken aber mittlerweile
> korrigieren können. Den ersten Punkt finde ich zwar nicht
> ganz fair (für die Kunden ist es aber wohl sogar mehr als
> fair, wenn ich das gerade richtig verstehe),
> aber er ist
> akzeptabel. Wenn ich das richtig verstehe, zerlegen die
> Banken quasi das Jahr dann in Bruchteile
> und berechnen die
> Zinsen dann ein wenig anders. In Wirklichkeit kann man aus
> der "Jahresformel" wohl für beide Methoden - also dann
> quasi sowohl für die von mir "vorgeschlagene", als auch
> für die, wie die Banken es halt machen, Begründungen
> finden. Nichts davon ist allerdings wirklich zwingend.
>
Nur in der Finanzmathematik sind zwingende Berechnungsmethoden vorgegeben.
> Aber natürlich hast Du Recht: Wenn die Bank es halt so
> macht, wie Du es beschreibst, dann ist das halt so und mein
> "Vorschlag" ist dann nicht die Vorgehensweise, wie es in
> der Realität gehändelt wird. Daher ist Dein
> Korrektureinwand absolut berechtigt!
>
Die Finanzmathematik ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie beinhaltet ihrem Wortlaut nach mathematische Verfahren zur rechnerischen Behandlung „finanzieller“ Probleme. Bei diesen finanziellen Problemen handelt es sich, dem Ursprung der Finanzmathematik zufolge im Wesentlichen um Aufgaben aus dem Bank- und Kreditwesen. Eine entscheidende Rolle spielt bei diesen Aufgaben der Zins als Preis für geliehenes Geld. Grundlagen der finanzmathematischen Verfahren sind demnach der Zins und seine rechnerische Behandlung.
Die Finanzmathematik beinhaltet, so lässt sich verallgemeinernd sagen, mathematische Verfahren zur rechnerischen Behandlung der Hergabe, Verzinsung und Rückzahlung von Geld. Den finanzmathematischen Berechnungen liegen daher im konkreten Einzelfall Zahlungsgrößen, also Einnahmen und Ausgaben dar. Zur Ermittlung dieser Größen werden ganz bestimmte Formeln und Berechnungsmethoden angewandt. Und weil gerade diese Formeln bestehen, sollten sie auch zielbewusst eingesetzt werden.
Alle Lehr- und Fachbücher handeln den Themenbereich ab, in denen der Unterschied zwischen der unterjährige, lineare Verzinsung und der Zinseszinsrechnung ausführlich behandelt wird. Zugegeben, für einen Zeitraum von einem Jahr sind die Abweichungen zwischen diesen zwei Verfahren nur gering und keiner weiteren Rede wert. Über mehrere Jahre jedoch gesehen, kommt schon ein beträchtlicher Unterschied zustande. Finanzmathematik ist inzwischen zu meinem Hobby geworden und ich möchte die jeweiligen Berechnungsmethoden nicht mehr missen.
Viele Grüße
Josef
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