Zornsches Lemma < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:04 Mo 29.11.2004 | | Autor: | Michel |
Hallo zusammen,
hier noch eine besonders schwere Aufgabe, bei der ich seit vier Tagen verzweifle. Währe nett, wenn mir jemand helfen würde.
Es sei X eine Menge und [mm] $\emptyset \not= [/mm] F [mm] \subset [/mm] P(X)$. Dann heißt F eine [mm] $\alpha$-Menge, [/mm] wenn gilt:
1.) [mm] $\emptyset \not\in [/mm] F$,
2.) falls $A,B [mm] \in [/mm] F$, so gilt auch $A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in [/mm] F$ und
3.) falls $A [mm] \subset [/mm] B [mm] \subset [/mm] X$ und $A [mm] \in [/mm] F$, so gilt auch $B [mm] \in [/mm] F$.
Eine [mm] $\alpha$-Menge [/mm] F heißt eine [mm] $\alpha^{\ast}$-Menge, [/mm] wenn es keine [mm] $\alpha$-Menge [/mm] F' gibt mit $F [mm] \subseteq [/mm] F'$.
Zeigen Sie: Zu jeder [mm] $\alpha$-Menge [/mm] F gibt es eine [mm] $\alpha ^{\ast}-Menge $F^{\ast} [/mm] mit $F [mm] \subset F^{\ast}$.
[/mm]
(Hinweis: Betrachten Sie die Menge
[mm] $\mathbb{M} [/mm] := [mm] \{F' | F'$ ist $\alpha$-Menge und $F \subset F'\}$
[/mm]
und zeigen Sie, dass [mm] $(\mathbb{M}, \subset)$ [/mm] induktiv geordnet ist. Verwenden Sie dann das Zornsche Lemma.)
Bitte, bitte helft mir. Bin wirklich verzweifelt.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Gruß!
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht genau, wo das Problem liegt... wenn Du weißt, was das Zorn'sche Lemma besagt und weißt, wie man es anwendet ist die Aufgabe sehr simpel.
Daher nochmal: das Zornsche Lemma sagt aus, dass eine partiell geordnete Menge immer (mindestens) ein maximales Elemente besitzt, falls jede vollständig geordnete Teilmenge ein Supremum hat.
Im Fall von durch Inklusion teilweise geordneter Mengen ist dieses Supremum meist die Vereinigung.
Um zu zeigen, dass Du das Lemma von Zorn hier anwenden kannst, nimmst Du Dir also ein vollständig geordnetes System her: eine Indexmenge $I$ und für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ eine Menge [mm] $F_i \in \mathbb{M}$. [/mm] Es muß gelten: für $i,j [mm] \in [/mm] I$ gilt [mm] $F_i \subseteq F_j$ [/mm] oder [mm] $F_j \subseteq F_i$. [/mm] (Dann ist das ein vollständig geordnetes System).
Jetzt brauchst Du für dieses System ein Supremum... definiere einfach $G := [mm] \bigcup_{i \in I} F_i$. [/mm] Dass $F$ in $G$ liegt ist klar - zu zeigen ist, dass $G$ wieder eine [mm] $\alpha$-Menge [/mm] ist. Eigenschaften 1) und 3) folgen sofort, für 2) braucht man die vollständige Ordnung.
Wenn Du das gezeigt hast, kann also das Lemma von Zorn angewandt werden und Du erhältst ein maximales Element $F*$ von [mm] $\mathbb{M}$.
[/mm]
Jetzt mußt Du nur noch zeigen, dass $F*$ eine [mm] $\alpha*$-Menge [/mm] ist... aber das ist beinahe klar...
Alles klar?  Viel Erfolg!
Lars
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