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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Di 29.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Finden Sie jeweils Beispiele für auf [0; 1] gleichverteilte Zufallsgrößen X; Y;Z mit den
Eigenschaften (i)-(iv) oder beweisen Sie, dass solche Beispiele nicht exisitieren.
i) [mm] P(min{X,Y,Z}\le [/mm] 0.5) = 0
ii) [mm] P(min{X,Y,Z}\le [/mm] 0.5) = 0.5
iii) [mm] P(min{X,Y,Z}\le [/mm] 0.5) = 0.875
iv) [mm] P(min{X,Y,Z}\le [/mm] 0.5) = 1 |
Hallo,
ich weiß bei dieser Aufgabe leider garnicht,wie ich rangehen soll.
Das sind gleichverteilte Zufallsgröße, (abhängig/unabhängig/ in diesem Fall irrelevant? )
Ich soll nurn Beispiele angeben, sodass die Wahrscheinlichkeit,dass das Minimum einer zufallsgröße kleiner/gleich 0.5 sein soll. Bei 3 Zufallsgrößen MUSS es doch eine Größe geben, sodass eine Größe kleiner als 0.5 ist? Der fall hätte schon für 2 Zufallsgrößen also die Wkeit 0?
Wie soll ich also zeigen,dass es vlt. Zufallsgrößen gibt,sodass sogar i-iv gilt?
lg
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Hallo dimi727,
> Finden Sie jeweils Beispiele für auf [0; 1]
> gleichverteilte Zufallsgrößen X; Y;Z mit den
> Eigenschaften (i)-(iv) oder beweisen Sie, dass solche
> Beispiele nicht exisitieren.
>
> i) [mm]P(min{X,Y,Z}\le[/mm] 0.5) = 0
> ii) [mm]P(min{X,Y,Z}\le[/mm] 0.5) = 0.5
> iii) [mm]P(min{X,Y,Z}\le[/mm] 0.5) = 0.875
> iv) [mm]P(min{X,Y,Z}\le[/mm] 0.5) = 1
Nimm [0,1] mit Borel- [mm] \sigma- [/mm] Algebra und W'maß [mm] \lambda_{|[0,1]}.
[/mm]
Definiere auf diesem W'raum die Zufallsvariablen
[mm] $X:[0,1]\to[0,1], x\mapsto [/mm] x$,
[mm] $Y:[0,1]\to[0,1], x\mapsto [/mm] 1-x$,
$Z=X$.
Dann [mm] P(\min\{X,Y,Z\}\le0.5)=P(X\le0.5\text{ oder }Y\le0.5)=1.
[/mm]
Das ist also ein Beispiel für (iv).
Ähnliche Überlegungen musst du für (i) bis (iii) anstellen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:53 Di 29.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Sorry wir haben gerade erst Dichten und sind noch nicht bei der Maßtheorie angekommen, haben also noch keine Borel-sigma-algebra... ginge das iwie anders?
Hilft mir hier
http://www.ma.tum.de/foswiki/pub/Studium/ChristianKredler/Stoch1.pdf
der Punkt 2.3.4 nicht?
Müsse das dann nicht sein : [mm] [1-F_{X}(0.5)]^{3} [/mm] ? Iwie so?
mfg
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> Sorry wir haben gerade erst Dichten und sind noch nicht bei
> der Maßtheorie angekommen, haben also noch keine
> Borel-sigma-algebra... ginge das iwie anders?
Wie habt ihr dann Zufallsvariablen definiert, wenn nicht auf einen Wahrscheinlichkeitsraum ?
>
> Hilft mir hier
>
> http://www.ma.tum.de/foswiki/pub/Studium/ChristianKredler/Stoch1.pdf
>
> der Punkt 2.3.4 nicht?
>
> Müsse das dann nicht sein : [mm][1-F_{X}(0.5)]^{3}[/mm] ? Iwie so?
Dort hat man identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen.
Das hilft dir in der Tat bei (iii) weiter. Dort wählst Du X,Y,Z unabhängig gleichverteilt auf [0,1] und dann gilt
[mm] P(\min\{X,Y,Z\}\le0.5)=1-(1-F(0.5))^3=1-(1-0.5)^3=0.875
[/mm]
Bei dem Beispiel für (iv) oben sind X,Y,Z nich unabhängig.
Nun Du mit (i) und (ii).
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 29.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Ja hab gerade aber geguckt,dass die von dir erwähnte Borel sigma Algebra erst im nächsten Kapitel kommt. KÖnntest du das n bisschen ausführen oder mir dazu was schicken? zu iv) ?
Und noch schnell zu iii) , bevor ich i) und ii) probiere :
Woher nimmst du denn [mm] 1-(1-F(0.5))^3 [/mm] ? Also die erste 1- ? Da steht doch
nur [mm] (1-F(0.5))^3 [/mm] ?
Und wieso ist F(0.5) = 0.5 ? Wegen der gleichverteilung?
lg
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Hiho,
> Ja hab gerade aber geguckt,dass die von dir erwähnte Borel
> sigma Algebra erst im nächsten Kapitel kommt. KÖnntest du
> das n bisschen ausführen oder mir dazu was schicken? zu
> iv) ?
da muss nix geschickt werden. Die Angabe der Sigma-Algebra war nur der Vollständigkeit halber (und gehören eigentlich dazu, d.h. ohne Sigma-Algebra keine Zufallsvariablen), ist aber nicht notwendig, wenns klar ist, was gemeint ist.
> Und noch schnell zu iii) , bevor ich i) und ii) probiere :
>
> Woher nimmst du denn [mm]1-(1-F(0.5))^3[/mm] ? Also die erste 1- ?
> Da steht doch nur [mm](1-F(0.5))^3[/mm] ?
[mm] $P(\min\{X,Y,Z\} \le [/mm] 0.5) = 1 - [mm] P(\min\{X,Y,Z\} [/mm] > 0.5)$
Und nun berechne mal [mm] $P(\min\{X,Y,Z\} [/mm] > 0.5)$
> Und wieso ist F(0.5) = 0.5 ? Wegen der gleichverteilung?
Ja.
Noch ein paar Tipps zu i) und ii)
Bei i) bedenke [mm] $\min\{X,Y,Z\} \le [/mm] X$
Bei ii) mach dir mal klar, was bei X=Y=Z passiert.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:50 Mi 30.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Hmm so?
P(min{X,Y,Z} [mm] \le0.5) [/mm] = 0 <=> P(min{X,Y,Z}>0.5) = 1
<=> X,Y,Z >0.5 also P(min{X,Y,Z}>0.5) [mm] \le [/mm] 0.5 Widerspruch zu oben?
Oder schöner {min{X,Y,Z}>0.5} [mm] \subseteq [/mm] {X>0.5} => P(min{X,Y,Z}>0.5) [mm] \le [/mm] P(X>0.5) = 0.5 Widerspruch dazu,dass P(min{X,Y,Z}>0.5) = 1.
Kann man das so machen?
Und für X=Y=Z gilt
P(min{X,Y,Z} [mm] \le0.5) [/mm] = [mm] P(X\le0.5) [/mm] = 0.5
lg
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> Hmm so?
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> P(min{X,Y,Z} [mm]\le0.5)[/mm] = 0 <=> P(min{X,Y,Z}>0.5) = 1
>
> <=> X,Y,Z >0.5 also P(min{X,Y,Z}>0.5) [mm]\le[/mm] 0.5 Widerspruch
> zu oben?
Es gilt dann X,Y,Z>0.5 P- fast-sicher. Ja, das ist ein Widerspruch zur Gleichverteilung von X,Y,Z.
>
> Oder schöner {min{X,Y,Z}>0.5} [mm]\subseteq[/mm] {X>0.5} =>
> P(min{X,Y,Z}>0.5) [mm]\le[/mm] P(X>0.5) = 0.5 Widerspruch dazu,dass
> P(min{X,Y,Z}>0.5) = 1.
>
> Kann man das so machen?
>
> Und für X=Y=Z gilt
>
> P(min{X,Y,Z} [mm]\le0.5)[/mm] = [mm]P(X\le0.5)[/mm] = 0.5
Korrekt
>
> lg
LG
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