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Hallo
Ich hab hier eine stochastische Aufgabe bei der ich überhaupt nicht weiß wie ich rangehen soll:
Seien X,Y unabhängige Zufallsvariablen. Die gemeinsame Dichte von (X,Y) sei gegeben durch [mm] f_{X,Y} [/mm] (x,y) := [mm] \lambda_{1} \lambda_{2}e^{- \lambda_{1}x - \lambda_{2}y} \I1_{[0, \infty) \times[0, \infty)}(x,y), \lambda_{1}, \lambda_{2} [/mm] > 0
Sei X° := [mm] e^{X} [/mm] und Y° := [mm] e^{Y}. [/mm] Berechne die Dichte von X°*Y°.
Ist also die gemeinsame Dichte von (X,Y) gleichbedeutend mit der Dichte von X*Y!? Wenn ja (wovon ich mal ausgehe) dann weiß ich aber doch immer noch nicht wie X und Y definiert sind und somit auch nicht inwiefern sie in die Funktion [mm] f_{X,Y} [/mm] (x,y) eingegangen sind. Oder muss ich für x [mm] e^{X} [/mm] und für y [mm] e^{Y} [/mm] einsetzten? Wenn ja, wie mache ich dann damit weiter? Ihr seht, ich bin vollkommen plan- und ahnungslos. umso mehr würde ich mich über Hilfe von Euch sehr freuen!
Liebe Grüße, Sophie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:40 Mi 25.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Die gemeinsame Dichte von $X$ und $Y$ hat mit der Dichte von $X [mm] \cdot [/mm] Y$ zunächst einmal nicht viel zu tun.
Ist $f$ die gemeinsame Dichte, so kannst du die Verteilung von [mm] $e^X \cdot e^Y$ [/mm] so berechnen:
[mm] $P(e^X \cdot e^Y\le [/mm] z) = [mm] \int\limits_{\{(x,y)\in\IR^2 \,:\, e^x \cdot e^y \le z\}} f(x,y)\, [/mm] dxdy$.Das musst du jetzt (mit Fubini) weiter ausrechnen...
Durch Ableiten kommst du dann auf die Dichte... 
Liebe Grüße
Stefan
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