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Forum "Zahlentheorie" - Zusammenhang ggT, kgV
Zusammenhang ggT, kgV < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Zusammenhang ggT, kgV: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:40 Mi 16.10.2013
Autor: DrRiese

Aufgabe
Seien a,b ganzzahlig.
Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
i) Es gibt ein x [mm] \in \IZ [/mm] mit ggT(b,x)=a
ii) Es gibt ein y [mm] \in \IZ [/mm] mit kgV(a,y)=b
iii) a teilt b

Hallo :-)
Sitze an dieser Aufgabe und habe überhaupt keinen Ansatz. Habe mir erstmal die Definitionen aufgeschrieben.
[mm] ggT(a,b)=max\{t \in \IN | t|a, t|b \} [/mm] und [mm] kgV(a,b)=min\{v \in \IN | a|v, b|v \}. [/mm]
Nun kriege ich aber den Schritt von i) nach ii) nicht hin... Hat jemand Ideen?

Schonmal vielen Dank :-)

LG,
DrRiese

        
Bezug
Zusammenhang ggT, kgV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Mi 16.10.2013
Autor: Schadowmaster

Ok, ein Tipp:
Ein Ringschluss ist schön, aber muss nicht immer das leichteste sein.
Hier würde ich $(i) [mm] \gdw [/mm] (iii)$ und $(ii) [mm] \gdw [/mm] (iii)$ empfehlen, das sieht mir spontan am leichtesten aus.

lg

Schadow

Bezug
        
Bezug
Zusammenhang ggT, kgV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:51 Mi 16.10.2013
Autor: tobit09

Hallo DrRiese,


> Seien a,b ganzzahlig.

Wenn die unten von dir angegebene Definition von ggT und kgV die von euch verwendete ist, müssen wir [mm] $a,b\in\IN$ [/mm] voraussetzen, damit die Behauptung stimmt.

>  Zeigen Sie die Äquivalenz folgender Aussagen:
>  i) Es gibt ein x [mm]\in \IZ[/mm] mit ggT(b,x)=a
>  ii) Es gibt ein y [mm]\in \IZ[/mm] mit kgV(a,y)=b
>  iii) a teilt b


>  Sitze an dieser Aufgabe und habe überhaupt keinen Ansatz.
> Habe mir erstmal die Definitionen aufgeschrieben.
> [mm]ggT(a,b)=max\{t \in \IN | t|a, t|b \}[/mm] und [mm]kgV(a,b)=min\{v \in \IN | a|v, b|v \}.[/mm]

Guter Anfang.

Was bedeuten also die Gleichungen $ggT(b,x)=a$ und $kgV(a,y)=b$ für [mm] $x,y\in\IZ$? [/mm]

Beachte dabei, dass etwa [mm] $s=\max [/mm] S$ für eine Menge $S$ natürlicher oder reeller Zahlen und eine Zahl $s$ bedeutet:
1. [mm] $s\in [/mm] S$ und
2. $s$ maximal mit dieser Eigenschaft (d.h. [mm] $s\ge [/mm] s'$ für alle [mm] $s'\in [/mm] S$).

Wenn du dir die Bedeutungen von $ggT(b,x)=a$ und $kgV(a,y)=b$ klar gemacht hast, siehst du vermutlich etwas klarer, was eigentlich gegeben und zu tun ist.


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Zusammenhang ggT, kgV: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:53 Do 17.10.2013
Autor: DrRiese

Hi, danke für die Antworten :-)

Also ich hatte jetzt erstmal versucht die Aufgabe folgendermaßen anzugehen: i) [mm] \gdw [/mm] iii) und ii) [mm] \gdw [/mm] iii)

i) [mm] \gdw [/mm] iii):
[mm] \Rightarrow [/mm]
ggT(b,x)=a [mm] \Rightarrow [/mm] a|b und a|x [mm] \Rightarrow [/mm] also folgt Aussage iii)
[mm] \Leftarrow [/mm]
a|b [mm] \Rightarrow [/mm] aq=b, q [mm] \in \IZ [/mm] und [mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IZ [/mm] mit der obigen Eigenschaft, nämlich a*1=a=x [mm] \Rightarrow [/mm] ggT(b,a)=a

ii) [mm] \gdw [/mm] iii):
[mm] \Rightarrow [/mm]
kgV(a,y)=b [mm] \Rightarrow [/mm] a|b und y|b [mm] \Rightarrow [/mm] also folgt Aussage iii)
[mm] \Leftarrow [/mm]
a|b [mm] \Rightarrow [/mm] aq=b, q wie oben, und [mm] \exists [/mm] y [mm] \in \IZ [/mm] mit der obigen Eigenschaft, nämlich b*1=b=y [mm] \Rightarrow [/mm] kgV(a,y)=b   [mm] \Box [/mm]

Könnte man das so machen?

Viele Grüße,
DrRiese :-)


Bezug
                        
Bezug
Zusammenhang ggT, kgV: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:52 Do 17.10.2013
Autor: Schadowmaster

Jo, sieht gut aus. :)

Bezug
                                
Bezug
Zusammenhang ggT, kgV: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:32 Do 17.10.2013
Autor: DrRiese

War ja doch einfacher als gedacht, danke :-)

Bezug
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