Zusammenhang von Mengen < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:11 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Eröffnungsfrage:
Sei E ein topologischer Raum. Zeige: E ist genau dann zusammenhängend, wenn jede Teilmenge $ M [mm] \not= \emptyset, [/mm] E$ einen nichtleeren Rand besitzt.
(Quelle: Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2, Kapitel 160, Aufgabe 3)
Folgendes habe ich gezeigt:
" [mm] \Rightarrow [/mm] " Sei E zusammenhängend. Angenommen [mm] $\partial [/mm] M = [mm] \emptyset$. [/mm] Dann ist [mm] $\partial [/mm] M$ sowohl offen als auch abgeschlossen.
Ferner gilt [mm] $\overline{M}= [/mm] M [mm] \cup \partial [/mm] M = M$, also $M$ abgeschlossen und [mm] $M^{\circ} [/mm] = M [mm] \backslash \partial [/mm] M = M$, also $M$ offen.
Wegen $ [mm] \emptyset \not= [/mm] M [mm] \not= [/mm] E$ gibt es also eine weitere Menge, die sowohl abgeschlossen als auch offen ist. dies ist ein Widerspruch zum Zusammenhang von E. also [mm] $\partial [/mm] M [mm] \not= \emptyset$.
[/mm]
Leider fehlt mir eine Idee für die andere Richtung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:13 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Stefan!
Hast du dir mal die Aufgabe 1 angeschaut?
$E$ ist genau dann zusammenhängend, wenn [mm] $\emptyset$ [/mm] und $E$ die einzigen Teilmengen von $E$ sind, die sowohl offen als auch abgeschlossen sind.
Lösung von Aufgabe 1:
$E$ sei zusammenhängend und $A [mm] \subset [/mm] E$ sowohl offen als auch abgeschlossen. Dann ist $B:=E [mm] \setminus [/mm] A$ offen und $E= A [mm] \cup [/mm] B$, $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$. [/mm] Es folgt, dass $A$ oder $B$ leer, also [mm] $A=\emptyset$ [/mm] oder $A=E$ sein muss.
Nun seien [mm] $\emptyset$ [/mm] und $E$ die einzigen Teilmengen von $E$, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind. Dann kann es keine Darstellung $E = A [mm] \cup [/mm] B$ mit offenen, nichtleeren und disjunkten Mengen $A$ und $B$ geben, weil $A=E [mm] \setminus [/mm] B$ auch abgeschlossen und somit [mm] $A=\emptyset$ [/mm] oder $A=E$, in letzterem Falle aber $B = [mm] \emptyset$ [/mm] sein müsste.
So, jetzt zu deiner Aufgabe:
Wir wissen also, dass für jede Teilmenge [mm] $M\subset [/mm] E$ mit $M [mm] \ne \emptyset$ [/mm] und $M [mm] \ne [/mm] E$ gilt:
[mm] $\partial [/mm] M [mm] \ne \emptyset$.
[/mm]
Zu zeigen ist nach dem obigen Satz, dass $E$ und [mm] $\emptyset$ [/mm] die einzigen Teilmengen von $E$ sind, die zugleich offen wie abgeschlossen sind.
Es sei aber $M$ eine beliebige Teilmenge von $E$ mit $M [mm] \ne \emptyset$ [/mm] und $M [mm] \ne [/mm] E$. Dann gilt nach Voraussetzung [mm] $\partial [/mm] M [mm] \ne \emptyset$, [/mm] also:
[mm] $\dot{M} [/mm] = [mm] \bar{M} \setminus \partial [/mm] M [mm] \subsetneq \bar{M}$,
[/mm]
also:
[mm] $\dot{M} \subsetneq \bar{M}$.
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] $\dot{M} \ne [/mm] M$ oder $M [mm] \ne \bar{M}$,
[/mm]
d.h. $M$ ist nicht offen oder nicht abgeschlossen.
Daher sind [mm] $\emptyset$ [/mm] und $M$ die einzigen Teilmengen von $E$, die zugleich offen wie auch abgeschlossen sind. Die Behauptung folgt nun wie oben beschrieben. [mm] $\Box$
[/mm]
Sorry für die ausführliche Lösung, eigentlich sollte ich ja nur Tipps geben.  Aber ich bin so froh endlich mal wieder was mengentheoretische Topologie machen zu dürfen. 
Stell ruhig noch mehr solcher Aufgaben, das macht Spaß.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:45 Sa 10.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Stefan,
herrzlichen Dank.
Es ist also irgendwie der gleiche Beweis wie für die Richtung " $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ ". Da habe ich ja auch die Aufgabe 1 benutzt.
Ich muß mir nur angewöhnen, das ja $M$ beliebig ist! Schreibe mir das auf das Handgelenk!
Weitere Fragen folgen noch...
Stefan
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