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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Di 12.02.2013 | | Autor: | Time |
Hallo zusammen, ich stehe vor folgender Aufgabe:
Es geht darum die Standardabweichung des Verbrauchs eines Gutes in einem bestimmten Zeitraum zu bestimmen. Allerdings ist der tägliche Verbrauch nicht konstant sondern normal-verteilt. Der genaue Zeitraum ist ebenfalls nicht konstant sondern normal-verteilt.
Der durchschnittliche tägliche Verbraucht ist x, Standardabweichung [mm] \sigma_x
[/mm]
Der Zeitraum beträgt durchschnittlich n Tage, mit der Standardabweichung [mm] \sigma_n
[/mm]
Gesucht ist jetzt die Standardabweichung der für den Zeitraum benötigten Güter.
Ich hätte jetzt folgenden Lösungsansatz:
Die Varianz jedes einzelnen Tages lässt sich einfach n-mal addieren, für die Anzahl der durchschnittlichen Tage. Also:
[mm] n*\sigma_x^2
[/mm]
Die Standardabweichung der Länge des Gesamtzeitraums (also eine Anzahl von Tagen) multipliziere ich mit dem durchschnittlichen Verbrauch pro Tag. Also:
[mm] \sigma_n*x
[/mm]
Um die gesamte Varianz jetzt zu erhalten, addiere ich wiederum diese beiden Varianzen. Meine Kovarianz ist null, da die Länge des Zeitraums nicht vom täglichen Verbrauch und umgekehrt beeinflusst wird.
[mm] \sigma^2 [/mm] = [mm] n*\sigma_x^2 [/mm] + [mm] (\sigma_n*x)^2
[/mm]
Ich bin jetzt aber skeptisch, ob diese Lösung wirklich richtig ist, weil sich die beiden unterschiedlichen Einflussfaktoren ja irgendwie doch gegenseitig beeinflussen. Im linken Term wird jetzt nämlich nicht berücksichtigt, dass n ja tatsächlich nicht konstant ist, sondern normal-verteilt. Ebenfalls wird im rechten Term nicht berücksichtigt, dass x ja auch nicht konstant ist.
Würde mich freuen eine paar Gedanken zu dieser Lösung zu hören. Falls die Lösung so richtig ist, würde mich interessieren warum meine Idee, dass das nicht richtig wäre falsch ist, und wie man es begründen kann. Oder sollte es falsch sein, würde mich natürlich die richtige Lösung interessieren.
Danke!
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Hallo,
> Hallo zusammen, ich stehe vor folgender Aufgabe:
>
> Es geht darum die Standardabweichung des Verbrauchs eines
> Gutes in einem bestimmten Zeitraum zu bestimmen. Allerdings
> ist der tägliche Verbrauch nicht konstant sondern
> normal-verteilt. Der genaue Zeitraum ist ebenfalls nicht
> konstant sondern normal-verteilt.
> Der durchschnittliche tägliche Verbraucht ist x,
> Standardabweichung
> Der Zeitraum beträgt durchschnittlich n Tage, mit der
> Standardabweichung
D.h. du hast eine Zufallsvariable $N [mm] \sim [/mm] N(n, [mm] \sigma_n)$ [/mm] und eine weitere Zufallsvariable [mm] $X_1,X_2,... \sim [/mm] N(x, [mm] \sigma_x)$.
[/mm]
Damit du im Folgenden etwas berechnen kannst, musst du annehmen, dass [mm] $N,X_i$ [/mm] unabhängig sind.
Du möchtest [mm] $Var\left(\sum_{i=1}^{N}X_i\right)$ [/mm] bestimmen.
Ich empfehle für die Berechnung erstmal von ganzzahligem N auszugehen. Du kannst ja später [mm] $\sum_{i=1}^{N}X_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{[N]}X_i [/mm] + [mm] (N-[N])*X_{[N]+1}$ [/mm] schreiben. Eventuell kannst du ja auch erstmal "leichter" anfangen und annehmen, dass $N$ diskret verteilt ist (z.B. Poisson).
> Gesucht ist jetzt die Standardabweichung der für den
> Zeitraum benötigten Güter.
>
> Ich hätte jetzt folgenden Lösungsansatz:
> Die Varianz jedes einzelnen Tages lässt sich einfach n-mal
> addieren, für die Anzahl der durchschnittlichen Tage.
> Also:
> [mm]n*\sigma_x^2[/mm]
>
> Die Standardabweichung der Länge des Gesamtzeitraums (also
> eine Anzahl von Tagen) multipliziere ich mit dem
> durchschnittlichen Verbrauch pro Tag. Also:
> [mm]\sigma_n*x[/mm]
>
> Um die gesamte Varianz jetzt zu erhalten, addiere ich
> wiederum diese beiden Varianzen. Meine Kovarianz ist null,
> da die Länge des Zeitraums nicht vom täglichen Verbrauch
> und umgekehrt beeinflusst wird.
>
> [mm]\sigma^2[/mm] = [mm]n*\sigma_x^2[/mm] + [mm](\sigma_n*x)^2[/mm]
>
>
> Ich bin jetzt aber skeptisch, ob diese Lösung wirklich
> richtig ist, weil sich die beiden unterschiedlichen
> Einflussfaktoren ja irgendwie doch gegenseitig
> beeinflussen. Im linken Term wird jetzt nämlich nicht
> berücksichtigt, dass n ja tatsächlich nicht konstant ist,
> sondern normal-verteilt. Ebenfalls wird im rechten Term
> nicht berücksichtigt, dass x ja auch nicht konstant ist.
Genau das Problem sehe ich auch.
Zur Berechung von
[mm] $Var\left(\sum_{i=1}^{N}X_i\right) [/mm] = [mm] E\left[\left(\sum_{i=1}^{N}X_i\right)^2\right]- \left(E\left[\sum_{i=1}^{N}X_i\right]\right)^2$.
[/mm]
empfehle ich beide hinteren Erwartungswerte über bedingte Erwartungswerte zu berechnen. (d.h. erst auf N bedingen und dann nochmal Erwartungswert bilden).
Viele Grüße,
Stefan
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 Sa 02.03.2013 | | Autor: | Time |
Vielen Dank für die Antwort!
Werde mir üben den Ansatz mal Gedanken machen.
Gruß
Time
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