Zweimal Betrag von etwas? < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 So 27.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Hi,
[mm] ||x||_{\infty} [/mm] := [mm] max{|x_{1}|,|x_{2}|}
[/mm]
Weiss jemand was das (Hyropglyphen mit Index unendlich) alles bedeuten soll?
Danke.
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Hallo qsxqsx!
> Hi,
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> [mm]||x||_{\infty}[/mm] := [mm]max{|x_{1}|,|x_{2}|}[/mm]
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> Weiss jemand was das (Hyropglyphen mit Index unendlich)
> alles bedeuten soll?
Klar.  Das ist einfach nur die Schreibweise für eine bestimmte Norm. Wenn ich mich recht erinnere ist Norm die mehrdimensionale Variante des Betrages (oje, meine ersten Semester Mathe sind langsam schon ne Weile her...), jedenfalls kannst du dir immer einen Betrag drunter vorstellen. Was genau es ist, ist ja auf der rechten Seite definiert, denn ":=" steht ja dafür, dass das, was links steht, rechts definiert wird.
In diesem Fall heißt das Ding glaub ich "Maximumsnorm" - schließe ich jedenfalls aus dem "max" auf der rechten Seite und diesen Ausdruck gibt es jedenfalls. Kannst ja notfalls mal nach googeln oder "wikipediaern"  .
Ach so, ja, also allgemein steht der "Doppelbetragstrich" für die Norm, und der Index gibt eben an, welche Norm es ist. Es gibt da auch noch andere, seltsamerweise fällt mir gerade nur die Frobenius-Norm ein. Aber was mir noch einfällt: meine allererste Frage hier war genau dazu, wie man solche Normen berechnet. Kannst du dir ja mal anschauen, wenn du willst.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 So 27.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Ui..."Operatornorm"...ich hoffe das hab ich nie.
Danke! Nur jetzt geht es auch noch darum das anzuwenden, hm...ich denk nicht das ein Mensch das lösen kann, aber ich schreib die ganze Aufgabe mal hin:
Für x =(x1,x2) [mm] \in \IR^{2} [/mm] seien ||x|| := [mm] \wurzel{x1^{2}+x2^{2}}
[/mm]
||x||1 := [mm] |x_{1}| [/mm] + [mm] |x_{2}| [/mm] und [mm] ||x||_{\infty} :=max{|x_{1}|,|x_{2}| }
[/mm]
Beweisen Sie:
||x|| [mm] \le ||x||_{1}
[/mm]
und
[mm] ||x||_{\infty} \le ||x||_{1}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 So 27.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ui..."Operatornorm"...ich hoffe das hab ich nie.
>
> Danke! Nur jetzt geht es auch noch darum das anzuwenden,
> hm...ich denk nicht das ein Mensch das lösen kann, aber
> ich schreib die ganze Aufgabe mal hin:
>
> Für x =(x1,x2) [mm]\in \IR^{2}[/mm] seien ||x|| :=
> [mm]\wurzel{x1^{2}+x2^{2}}[/mm]
>
> ||x||1 := [mm]|x_{1}|[/mm] + [mm]|x_{2}|[/mm] und [mm]||x||_{\infty} :=max{|x_{1}|,|x_{2}| }[/mm]
>
> Beweisen Sie:
>
> ||x|| [mm]\le ||x||_{1}[/mm]
> und
> [mm]||x||_{\infty} \le ||x||_{1}[/mm]
das ist 'ne banale Aufgabe:
[mm] $$\|x\|_\infty=\max\{|x_1|,\;|x_2|\}$$
[/mm]
gilt ja per Definitionem.
Wegen
[mm] $$|x_1| \le |x_1|+|x_2|=\|x\|_1\;\;(\text{beachte: }|x_2| \ge [/mm] 0)$$
ist die Ungleichung
[mm] $$\|x\|_\infty \le \|x\|_1$$
[/mm]
für den Fall [mm] $\|x\|_\infty=|x_1|$ [/mm] klar, im Falle [mm] $\|x\|_\infty=|x_2|$ [/mm] geht's vollkommen analog.
Und die Ungleichung
[mm] $$\|x\| \le \|x\|_1$$
[/mm]
ist äquivalent zu
[mm] $$\sqrt{x_1^2+x_2^2} \le |x_1|+|x_2| \,.$$
[/mm]
Da auf beiden Seiten der Ungleichung Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$ stehen, kannst Du diese Ungleichung quadrieren und erhältst dann eine äquivalente Ungleichung, deren Richtigkeit leicht einzusehen ist. Wenn Du das kurz durchrechnest, wirst Du sehen, dass man aus [mm] $2*|x_1|*|x_2| \ge [/mm] 0$ die Ungleichung
[mm] $$\sqrt{x_1^2+x_2^2} \le |x_1|+|x_2|,$$
[/mm]
also
[mm] $$\|x\| \le \|x\|_1$$
[/mm]
folgern kann.
P.S.:
Auch an Bastiane:
Das, was Bastiane zu dem Begriff "Norm" geschrieben hat, passt "meistens" zu "anschaulichen" Vektoren, beschränken wir uns mal auf den [mm] $\IR$ [/mm] (normaler Betrag), [mm] $\IR^2$ [/mm] und [mm] $\IR^3$ [/mm] (Länge bzw. "Betrag" eines Vektors läßt sich mit Pythagoras berechnen).
Allgemein ist eine Norm eine Abbildung von einem Vektorraum in [mm] $\IR_{\ge 0}=[0,\infty)$, [/mm] die gewisse Axiome erfüllt (Definitheit, Homogenität, Dreiecksungleichung), für genaueres: siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) Norm, Wiki.
Und die Operatornorm ist natürlich auch nur eine Norm bzgl. eines, vll. etwas "abstrakteren", Vektorraums.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:54 So 27.09.2009 | | Autor: | qsxqsx |
Danke vielmal! Ich wusste nicht das man "so" mit diesen Beträgen rechnen kann und was das eigentlich meint. Ich wusste ja eigentlich was ein Betrag ist...nur dachte ich es wäre hier etwas ganz anderes. Vor allem dieses Unendlich nach dem "Doppelbetrag" hat mich sehr verwirrt. Ein Betrag der Unendlich ist soll kleiner gleich [mm] ||x||_{1} [/mm] sein...kam mir sehr spanisch vor...
Danke für die Zeitaufwände!
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:06 Mo 28.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke vielmal! Ich wusste nicht das man "so" mit diesen
> Beträgen rechnen kann und was das eigentlich meint.
Du meinst wohl mit den "Normen". Aber das und wie man damit rechnen kann/darf/soll(te), ergibt sich bzw. erkennt man doch aus den Definitionen eben dieser. Wieso oder was ist oder war Dir daran genau unklar?
> Ich
> wusste ja eigentlich was ein Betrag ist...nur dachte ich es
> wäre hier etwas ganz anderes.
??
S.o.: Du rechnest mit Normen (also Abbildungen), denen eine gewisse Abbildungsvorschrift zugrundeliegt, so dass diese die in Wiki erwähnten Eigenschaften/Axiome einer Norm erfüllt. (Genauer gesagt geht es um Auswertungen einer der gegebenen Norm an einer Stelle [mm] $(x_1,x_2) \in \IR^2$.)
[/mm]
So ist bspw.
[mm] $$\|(3,-4)\|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5,$$ [/mm]
[mm] $$\|(3,-4)\|_1=|3|+|-4|=7,$$ [/mm]
[mm] $$\|(3,-4)\|_\infty=\max\{|3|,\;|-4|\}=4\,.$$
[/mm]
> Vor allem dieses Unendlich
> nach dem "Doppelbetrag" hat mich sehr verwirrt. Ein Betrag
> der Unendlich ist
Der Betrag ist ja auch nicht unendlich. Also:
[mm] $\|\cdot\|_\infty$ [/mm] ist eigentlich eine Abbildung. Ganz strenggenommen sollte da (im obigen Falle beschränkt man sich ja auf den [mm] $\IR^2$) [/mm] stehen:
[mm] $\|\cdot\|_\infty$ [/mm] ist eine Abbildung
[mm] $\|\cdot\|_\infty: \IR^2=\IR \times \IR \to [0,\infty)$ [/mm] definiert durch
[mm] $\|(x,y)\|_\infty:=\max\{|x|,\;|y|\}$ [/mm] für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2\,.$
[/mm]
Eigentlich sollte man auch prüfen, dass diese so definierte Abbildung die drei oben erwähnten Eigenschaften einer Norm erfüllt, damit der Name "Unendlich-Norm" oder "Maximums-Norm" seine Berechtigung hat!
[mm] $\left(\text{Beachte auch: Formal sollte man da eigentlich definieren: }$
$\|(x,y)\|_\infty:=\|\cdot\|_\infty(x,y):=\|\cdot\|_\infty((x,y))\,.\text{ So wäre z.B. }\|(3,-4)\|_\infty \text{ eigentlich zu notieren als }\|\cdot\|_\infty((3,-4))\,.\right)$
[/mm]
> soll kleiner gleich [mm]||x||_{1}[/mm] sein...kam
> mir sehr spanisch vor...
S.o.
> Danke für die Zeitaufwände!
Bitte!
Gruß,
Marcel
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