Zweites "Gesetz" bei Piketty < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mo 09.10.2017 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
Ich lese gerade das Kapital des 21 Jh., da formuliert der Autor ein grundlegendes Gesetz, nachdem über lange Zeiträume das Kapitaleinkommensverhältnis [mm] $\beta$ [/mm] dem Quotienten aus der Sparquote s und der Wachstumsrate g entspricht, also : [mm] $\beta =\frac{s}{g}$. [/mm] Jetzt gilt dieses Gesetz nur asymptotisch, d.h. es ist ein Grenzwert. Im technischen Anhag zum Buch wird gerade das mit dem Grenzwert etwas lapidar ausformuliert (das findet sich unter ![[]](/images/popup.gif) auf Seite 28). Im Endeffekt sieht es so aus, dass der Ausdruck für [mm] $\beta_{t+1}" [/mm] durch die vorigen Gleichungen erhalten wird, das verstehe ich auch noch. Dann werden weiter, die Werte [mm] $s_t$ [/mm] und [mm] $g_t$ [/mm] festgesetzt. Wie daraus jedoch mit einem Grenzwertprozess der entsprechende Grenzwert folgen soll ist mir ein Rätsel. Im Endeffekt geht es dann darum zu zeigen, dass [mm] $\lim_{t \rightarrow \infty} \frac{\beta_t \cdot (1+\frac{s_t}{g_t})}{1+g_t} \rightarrow \frac{s}{g}$, [/mm] wobei s und g die festgesetzten Werte für [mm] $s_t$ [/mm] bzw. [mm] $g_t$ [/mm] sind.
Ich wäre wie immer sehr dankbar für eure Hilfe.
Viele Grüße
Reynir
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Mo 09.10.2017 | | Autor: | fred97 |
Ich entnehme der verlinkten Seite:
(*) [mm] $\beta_{t+1}= \frac{\beta_t \cdot (1+\frac{s_t}{\beta_t})}{1+g_t} [/mm] $
Strebt nun [mm] $s_t \to [/mm] s, [mm] g_t \to [/mm] g$ und $ [mm] \beta_{t} \to \beta$ [/mm] für $t [mm] \to \infty$, [/mm] so folgt aus (*):
[mm] $\beta= \frac{\beta \cdot (1+\frac{s}{\beta})}{1+g} [/mm] $.
Ein [mm] \beta [/mm] kürzen wir und bekommen
$1= [mm] \frac{1+\frac{s}{\beta}}{1+g} [/mm] $.
Löst man die letzte Gleichung nach [mm] \beta [/mm] auf, so erhält man:
$ [mm] $\beta =\frac{s}{g}$ [/mm] $
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Mo 09.10.2017 | | Autor: | Reynir |
Danke Fred, ich war mir nicht ganz sicher, wie ich mit dem [mm] $\beta$ [/mm] umgehen muss.
Viele Grüße
Reynir
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