Zwischenwertsatz < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Mo 05.01.2009 | | Autor: | Lati |
| Aufgabe | | Sei n ∈ N und a ∈ R, a ≥ 0. Man beweise: ∃!b ≥ 0 mit [mm] b^n [/mm] = a. |
Hallo zusammen,
ich habe mir zu obiger Aufgabe schon was überlegt, weiß aber nicht ob das richtig ist und wie ich jetzt weiter kommen:
Und zwar muss ich doch hier zum einen die Existenz eines solchen b zeigen und zum anderen die Eindeutigkeit oder?
Die Existenz zeige ich doch einfach indem ich auf b auflöse, also dann b= [mm] \wurzel[n]{a}, [/mm] und somit ist b bestimmbar , da a [mm] \ge [/mm] 0.
Die Eindeutigkeit kann ich nun über den Zwischenwertsatz zeigen, allerdings fehlt mir hier der Ansatz.
Kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank und viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:48 Di 06.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei n ∈ N und a ∈ R, a ≥ 0. Man beweise:
> ∃!b ≥ 0 mit [mm]b^n[/mm] = a.
> Hallo zusammen,
>
> ich habe mir zu obiger Aufgabe schon was überlegt, weiß
> aber nicht ob das richtig ist und wie ich jetzt weiter
> kommen:
>
> Und zwar muss ich doch hier zum einen die Existenz eines
> solchen b zeigen und zum anderen die Eindeutigkeit oder?
>
> Die Existenz zeige ich doch einfach indem ich auf b
> auflöse, also dann b= [mm]\wurzel[n]{a},[/mm] und somit ist b
> bestimmbar , da a [mm]\ge[/mm] 0.
>
> Die Eindeutigkeit kann ich nun über den Zwischenwertsatz
> zeigen, allerdings fehlt mir hier der Ansatz.
Wie du die Eindeutigkeit mit dem Zwischenwertsatz zeigen willst, ist mir nicht klar. Die Existenz eines solchen b kannst du mit dem Zwischenwertsatz direkt zeigen. Für die Eindeutigkeit benutzt du die Monotonie.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Di 06.01.2009 | | Autor: | Lati |
Hallo Rainer,
vielen Dank für deine Antwort. Allerdings hab ich immer noch nicht ganz verstanden, wie ich jetzt hier genau den Zwischenwertsatz anwenden soll. Reichte es einfach aus zu sagen, dass da [mm] b^n [/mm] stetig ist sich mit dem Zwischenwertsatz ergibt, dass es zu jedenm a aus [mm] \IR [/mm] ein b geben muss, das die Gleichung erfüllt?
Und wie sieht das mit der Monotonie aus? Hier müsste es doch eigentlich auch genügen zu sagen, dass aufgrund der strengen Monotonie von der Exp-fkt folgt, dass dieses b eindeutig ist oder?
Vielen Dank für deine Hilfe.
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Di 06.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> vielen Dank für deine Antwort. Allerdings hab ich immer
> noch nicht ganz verstanden, wie ich jetzt hier genau den
> Zwischenwertsatz anwenden soll. Reichte es einfach aus zu
> sagen, dass da [mm]b^n[/mm] stetig ist sich mit dem Zwischenwertsatz
> ergibt, dass es zu jedenm a aus [mm]\IR[/mm] ein b geben muss, das
> die Gleichung erfüllt?
Wende doch den Zwischenwertsatz auf die Funktion [mm] $f(x)=x^b$ [/mm] an. Offensichtlich ist $f(0)=0<a$. Jetzt suchst du dir einen weiteren Wert c mit $f(c)>a$ und wendest den Satz an. Tipp: unterscheide die Fälle $a<1$, $a=1$, $a>1$!
> Und wie sieht das mit der Monotonie aus? Hier müsste es
> doch eigentlich auch genügen zu sagen, dass aufgrund der
> strengen Monotonie von der Exp-fkt folgt, dass dieses b
> eindeutig ist oder?
Das ist das entscheidene Argument. Es kann sein, dass du das noch ausformulieren musst, kommt drauf an, was als Antwort erwartet wird.
Viele Grüße
Rainer
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> Sei n ∈ N und a ∈ R, a ≥ 0. Man beweise:
> ∃!b ≥ 0 mit [mm]b^n[/mm] = a.
> Die Existenz zeige ich doch einfach indem ich auf b
> auflöse, also dann b= [mm]\wurzel[n]{a},[/mm] und somit ist b
> bestimmbar , da a [mm]\ge[/mm] 0.
Hallo Lati,
Genau dies wird wohl als "Lösung" dieser
Aufgabe nicht akzeptiert werden, denn mit
dieser Argumentation setzt du genau das,
was hier bewiesen werden soll, schon voraus !
LG
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