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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:10 Sa 03.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Hallo,
Ich habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht gerade Erfolg habe:
Sei p eine ungerade Primzahl und d [mm] \in \mathbb [/mm] N [mm] \Rightarrow \mathbb [/mm] Z \ [mm] p^{d} \mathbb [/mm] Z zyklisch.
Könntet ihr mir einen KlEINEN Tipp geben? Aber nocht zuviel. Danke im Vorraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Sa 03.11.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
sollte das so ausschaun?
> Hallo,
>
> Ich habe mal wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht gerade
> Erfolg habe:
>
Sei p eine ungerade Primzahl und $d [mm] \in \IN \Rightarrow \IZ_{p^{d}\IZ}$ [/mm] zyklisch.
>
> Könntet ihr mir einen KlEINEN Tipp geben? Aber nocht
> zuviel. Danke im Vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Sa 03.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo cluso,
> Sei p eine ungerade Primzahl und d [mm]\in \mathbb[/mm] N
> [mm]\Rightarrow \mathbb[/mm] Z \ [mm]p^{d} \mathbb[/mm] Z zyklisch.
Meinst du hier wirklich die (additive) Restklassen-Gruppe [mm] $\IZ/p^d\IZ$?
[/mm]
[mm] $\IZ/n\IZ$ [/mm] ist für JEDES [mm] $n\in\IN$ [/mm] zyklisch, wie du anhand der Definition von zyklisch (unter Beachtung, dass die Gruppenverknüpfung die Addition ist) nachprüfen kannst.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:12 Sa 03.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Oh, nein, ich meinte [mm] (\mathbb [/mm] Z \ [mm] p^{d} \mathbb Z)^{\ast}.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:20 Sa 03.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Oh, nein, ich meinte [mm](\mathbb[/mm] Z \ [mm]p^{d} \mathbb Z)^{\ast}.[/mm]
Nun, du weisst ja sicher schon, dass [mm] $(\IZ/p\IZ)^\ast$ [/mm] zyklisch ist.
Zeige die Behauptung nun per Induktion: sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] gegeben mit [mm] $(\IZ/p^n\IZ)^\ast$ [/mm] zyklisch, etwa [mm] $(\IZ/p^n\IZ)^\ast [/mm] = [mm] \langle [/mm] a + [mm] p^n\IZ \rangle$.
[/mm]
Du kannst jetzt zeigen, dass eins der Elemente [mm] $b_k [/mm] := a + k [mm] p^n [/mm] + [mm] p^{n+1}\IZ$ [/mm] mit $0 [mm] \le [/mm] k < p$ ein Erzeuger von [mm] $(\IZ/p^{n+1}\IZ)^\ast$ [/mm] ist.
Dazu kannst du erstmal folgern, dass jedes dieser Elemente [mm] $b_k$ [/mm] mindestens die Ordnung [mm] $\phi(p^n) [/mm] = [mm] p^{n-1} [/mm] (p - 1)$ hat. Du musst zeigen, dass mindestens eins davon die Ordnung [mm] $\phi(p^{n+1}) [/mm] = [mm] p^n [/mm] (p - 1)$ hat.
(Alternativ reicht es auch aus zu zeigen, dass es ein Element der Ordnung [mm] $p^n$ [/mm] gibt. Da es eins der Ordnung $p - 1$ gibt hat das Produkt zweier solcher Elemente dann Ordnung $(p - 1) [mm] p^n$, [/mm] da die Gruppe abelsch ist und die Ordnungen teilerfremd.)
LG Felix
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:08 So 04.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Hmmm, ich komm einfach nicht drauf. Sorry, aber...
Mit [mm] \mathbb [/mm] Z \ m [mm] \mathbb [/mm] Z und [a] oder solchen Sachen tue ich mir eh schon schwer... Aber ich will keine Lücken. Habe aber viele.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Mo 05.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Will mir denn niemand helfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mi 07.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 Mi 07.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Hallo,
Natürlich bin ich noch an der frage interessiert. Warum hilft mir denn niemand? Adiuvatne cur me nemo ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Mi 07.11.2012 | | Autor: | hippias |
Was ist denn Deine konkrete Frage?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:42 Do 08.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Hallo,
Na die folgende ist meine Frage:
Kann mir jemand noch einen Tipp geben? Dieser dann doch ein bisschen zu klein, hätte anders meine erste Frage formulieren sollen.
Ist denn das lateinnische richitg? Nur eine Nebenfrage nicht wichitg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:49 Sa 10.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Ich bin immernoch interessiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 So 11.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich bin immernoch interessiert.
Du koenntest ja mal schreiben, bei welchen der Hinweisen du wieviel (nicht) verstehst.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 So 11.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Ich verstehe den Hinweis ja, nur ich komme immer noch nicht weiter.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:21 So 11.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleich hilft dir ja ein konkretes Beispiel, p=3 und dann [mm] p^2
[/mm]
allgemein geht das dann genauso von [mm] p^n [/mm] nach [mm] p^{n+1}
[/mm]
wenn man gar keine Idee hat, nimmt man erstmal das einfachste Bsp. hier vom bekannten p =3 auf das [mm] p^2=9 [/mm] schließen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 So 11.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Der Fall p=3 ist trivial:
[mm] (\mathbb Z/3\mathbb Z)^{\ast}= N^{\ast} [/mm] ist eine endliche Untergruppe von [mm] N^{\ast} [/mm] und N ist ein Körper [mm] \Rightarrow N^{\ast} [/mm] zyklisch.
Bei [mm] p^{2} [/mm] überlege ich noch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 So 11.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Es ist ja [mm] |(\mathbb Z/9\mathbb Z)^{\ast}|=\phi(9)=9-3=6
[/mm]
Aberr viel weiter komme ich nicht...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:05 Sa 17.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Hallo,
Geht es auch so:
Sei <g> = [mm] \mathbb Z/p\mathbb [/mm] Z .Nach Fermats kleinem Satz ist [mm] g^{p-1} \equiv [/mm] 1 ( [mm] \mod [/mm] p ) [mm] \Rightarrow g^{p-1} \equiv [/mm] 1+a [mm] \cdot [/mm] p ( [mm] \mod p^{2} [/mm] ) mit a [mm] \in \mathbb [/mm] Z [mm] \Rightarrow \exists [/mm] a [mm] \in \mathbb [/mm] Z : [mm] g^{p-1^{p^{d-2}}} \equiv [/mm] (1+a [mm] \cdot p)^{p^{d-2}} \equiv [/mm] 1+a [mm] \cdot p^{d-1} [/mm] ( [mm] \mod p^{d}) [/mm] nicht kongruent 1 [mm] (\mod p^{d}) [/mm]
Es gilt ord([g]) [mm] \mid ord(\mathbb [/mm] Z/ [mm] p^{d}\mathbb Z)^{\ast}=\phi(p^{d})=p^{d-1}(p-1)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:07 So 18.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Kan ich das denn so machen?
Possumne , id facere?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 So 18.11.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Geht es auch so:
>
> Sei <g> = [mm]\mathbb Z/p\mathbb[/mm] Z .
Du meinst eher [mm] $\langle [/mm] g [mm] \rangle [/mm] = [mm] (\IZ/p\IZ)^\ast$? [/mm] Schliesslich geht es hier nicht um die additive Gruppe.
> Nach Fermats kleinem Satz
> ist [mm]g^{p-1} \equiv[/mm] 1 ( [mm]\mod[/mm] p ) [mm]\Rightarrow g^{p-1} \equiv[/mm]
> 1+a [mm]\cdot[/mm] p ( [mm]\mod p^{2}[/mm] ) mit a [mm]\in \mathbb[/mm] Z
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm]
> a [mm]\in \mathbb[/mm] Z : [mm]g^{p-1^{p^{d-2}}} \equiv[/mm] (1+a [mm]\cdot p)^{p^{d-2}} \equiv[/mm]
Was machst du hier? Erstmal, meinst du mit $p - [mm] 1^{p^{d - 2}} [/mm] = p - 1$ im Exponenten vielleicht $(p - 1) [mm] p^{d - 2}$?
[/mm]
> 1+a [mm]\cdot p^{d-1}[/mm] ( [mm]\mod p^{d})[/mm]
Und wieso sollte $(1 + a [mm] p)^{p^{d-2}}$ [/mm] kongruent zu $1 + a [mm] p^{d-1}$ [/mm] modulo [mm] $p^d$ [/mm] sein?
> nicht kongruent 1 [mm](\mod p^{d})[/mm]
Dazu muesste $a$ nicht durch $p$ teilbar sein. Ist es das sicher nicht?
> Es gilt ord([g]) [mm]\mid ord(\mathbb[/mm] Z/ [mm]p^{d}\mathbb Z)^{\ast}=\phi(p^{d})=p^{d-1}(p-1)[/mm]
Auch hier meinst du wieder [mm] $ord((\IZ/p^d\IZ)^\ast)$ [/mm] und nicht [mm] $ord(\IZ/p^d\IZ)$. [/mm] Die Ordnung der additiven Gruppe [mm] $\IZ/p^d\IZ$ [/mm] ist [mm] $p^d$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:50 So 18.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Hallo,
Zu frage 1: ja.
Zur frage 2: ja.
Zur frage 3: In meinem Skript, das ich aus dem Internet habe, und durcharbeite, war das ein Lemma ein Prop. von dem ich den Beweis leider nicht verstehe. Ich habe mehrere Lücken, aber die werde ich alle noch schließen. Und bis zum Studium habe ich ja noch Zeit.
Zur frage 4: das weiß ich nicht. Das könnte ich jedenfalls irgendwie aus der Definition von a rausfinden.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:39 Do 22.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Hallo,
Ja, a muss doch ungerade sein, oder irre ich mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 23.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 19.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Do 15.11.2012 | | Autor: | cluso. |
Warscheinloch loegt es daran, also mir keine Ideen kommen, weil ich auch keine Beispiele hinkriege, na ja ein paar, aber wenige schon. Könntet ihr mir helfen?
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> Warscheinloch loegt es daran, also mir keine Ideen kommen,
> weil ich auch keine Beispiele hinkriege, na ja ein paar,
> aber wenige schon. Könntet ihr mir helfen?
Hi,
Felix hat doch schon alles erwähnt:
https://matheraum.de/read?i=923371
In [mm](\IZ/p^n\IZ)^\star[/mm] solltest du dir mal das Element [mm]g:=1+kp[/mm] anschauen. Für bestimmte k hat g gerade Ordnung [mm]p^{n-1}[/mm].
Und dann sucht man sich noch eine passende Potenz von einer Primitivwurzel mod p.
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