Zylinderkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Mi 09.07.2008 | | Autor: | crashby |
| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] $\int\int\int x^2\cdot [/mm] y dxdydz $
mit $ [mm] G:=\{(x,y,z)\in \IR^3: x\ge 0, y\ge 0, x^2+y^2\le 1,0\le z\le 1\}\subset\IR^3 [/mm] $
Verwenden Sie hierbei zylinderkoordinaten:
[mm] $x=r\cdot cos(\phi) [/mm] $
$ [mm] y=r\cdot sin(\phi) [/mm] $
$ [mm] z=\xi [/mm] $ mit [mm] $r>0,0\le \phi [/mm] < [mm] 2\pi [/mm] $, [mm] $\xi\in \IR [/mm] $
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moin Leute,
hier mein nächstes Problem :)
mein Integral soll diese form hier haben:
[mm] $\int_{z}\int_{r}\int_{\phi}f(r,\phi,z) [/mm] r d [mm] \phi [/mm] dr dz $
z geht von 0...1 [mm] ;$\phi$ [/mm] von [mm] 0...2$\pi$
[/mm]
Was ist mit dem r und wie schreibe ich das ganze auf?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Mi 09.07.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Wie du sicherlich weißt ist
[mm] r^2=x^2+y^2
[/mm]
Da [mm] x^2+y^2 [/mm] von 0 bis 1 geht, geht auch r von 0 bis 1.
Und deine Beschränkung von [mm] \Phi [/mm] ist auch nicht richtig.
Denk daran, dass [mm] x,y\ge0 [/mm] ist, und desswegen
[mm] 0\le\Phi\le\pi/2
[/mm]
Das siehst du eigentlich sofort, wenn du mal eine Skizze malst, kannst es aber auch aus der bedingung herleiten
[mm] x=r*cos(\Phi)\ge0 \Rightarrow \Phi\in[-\pi/2,\pi/2]
[/mm]
Für den Sinus gilt [mm] \Phi\in[0,\pi]
[/mm]
Und daraus dann das Intervall, was beides Erfüllt.
Dann weißt du ja jetzt alles. Dann berechnest du noch Funktionaldeterminante, setzt alles ein und kannst integrieren.
Schönen Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Do 10.07.2008 | | Autor: | crashby |
Hey max3000,
Bei der Determinante kommt dann $r$ raus oder ?
Dennoch weiß ich nicht so wirklich wie ich das jetzt aufschreiben soll aber ich probier es mal:
gegeben war ja: $ [mm] \int\int\int_{G}x^2\cdot y\; dx\; dy\; [/mm] dz $
mit der Polarkoordinatenschreibweise würde ich das so schreiben:
$ [mm] \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cdot cos(\phi)^2\cdot r\cdot sin(\phi)\cdot r\cdot d\phi\;dr\; [/mm] dz $
[mm] $=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cdot cos(\phi)^2\cdot r^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; [/mm] dz $
und das jetzt integrieren ?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Do 10.07.2008 | | Autor: | fred97 |
ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 Do 10.07.2008 | | Autor: | crashby |
hey supi,
ich mussl eider erstmal arbeiten werde später dann rechnen und es hier reinstellen.
Danke für eure Hilfe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Fr 11.07.2008 | | Autor: | crashby |
Okay dann wollen wir mal:
$ [mm] =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cdot cos(\phi)^2\cdot r^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; [/mm] dz $
[mm] $=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^4\cdot cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; [/mm] dz $
[mm] r^4 [/mm] vors integral schieben:
[mm] $=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}r^4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; [/mm] dz $
Eine Stammfunktion von [mm] $os(\phi)^2\cdot sin(\phi)$ [/mm] ist
[mm] $-\frac{1}{3}cos(\phi)^3+C [/mm] $
dann erhalte ich für das erste Integegral nach [mm] $\phi [/mm] $:
[mm] $\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}r^4\cdot(-\frac{1}{3}\cdot cos(\pi/2)^3-0)\; dr\right)dz [/mm] $
nun ist aber $ [mm] cos(\pi/2) [/mm] =0 $
wo ist der Fehler ?
lg George
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Kroni |
> Okay dann wollen wir mal:
Hi,
>
> [mm]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cdot cos(\phi)^2\cdot r^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz[/mm]
>
> [mm]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^4\cdot cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz[/mm]
>
> [mm]r^4[/mm] vors integral schieben:
>
> [mm]=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}r^4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz[/mm]
>
> Eine Stammfunktion von [mm]os(\phi)^2\cdot sin(\phi)[/mm] ist
> [mm]-\frac{1}{3}cos(\phi)^3+C[/mm]
>
> dann erhalte ich für das erste Integegral nach [mm]\phi [/mm]:
>
> [mm]\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}r^4\cdot(-\frac{1}{3}\cdot cos(\pi/2)^3-0)\; dr\right)dz[/mm]
>
> nun ist aber [mm]cos(\pi/2) =0[/mm]
Ja. [mm] $\cos\pi/2=0$, [/mm] aber was ist denn [mm] $\cos(0)$?.
[/mm]
LG
Kroni
>
> wo ist der Fehler ?
>
> lg George
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Fr 11.07.2008 | | Autor: | crashby |
Hey Kroni,
ja ich hab einfach aufgehört nachdem ich gesehen habe das es null wird. Da aber cos(0) =1 ist kann ich ja weiter rechnen :)
okay als Ergebnis habe ich dann:
$ [mm] =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^4\cdot cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz=\red{\frac{1}{15}} [/mm] $
ist das richtig ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Fr 11.07.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
darauf komme ich auch, da das Integral von [mm] $r^4$ [/mm] dir eine 1/5 gibt und das INtegral über z eine 1. Der Cosinus-Sinus-Ausdruck gibt dir 1/3, ergo 1/15,
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Fr 11.07.2008 | | Autor: | crashby |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hey,
Danke.
Hier mal die vollständige Lösung:
$ \int\int\int_{G}x^2\cdot y\; dx\; dy\; dz $
mit Polarkoordinaten dann:
$ \int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^2\cdot cos(\phi)^2\cdot r\cdot sin(\phi)\cdot r\cdot d\phi\;dr\; dz $
weiter veinfachen:
$ =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} r^4\cdot cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz $
r^4 vor das Integral schieben:
$ =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}r^4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(\phi)^2\cdot sin(\phi)\cdot d\phi\;dr\; dz $
$=\int_{0}^{1}\left(r^4\cdot \left[-\frac{1}{3} cos(\phi)^3\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\;dr\right)\;dz=\int_{0}^{1}\left(r^4\cdot \left(0-\left(-\frac{1}{3}\right)\;dr\right)\;dz=\int_{0}^{1}\left(\int_{0}^{1}\left( \frac{r^4}{3}\right)\;dr\right)\;dz $
$=\int_{0}^{1}\left[\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{5}r^4\right]_{0}^{1}\;dz =\int_{0}^{1}\frac{1}{15}\;dz=\red{\frac{1}{15}}$
Vielen Dank
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