a * 0 = 0 für alle a in K? < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Fr 31.07.2009 | | Autor: | pittster |
Aus einem Beweis der für Ringe geführt wurde (bei Körpern sollte es dann wohl erst recht so sein) habe ich folgenden Beweis für:
Für alle $a [mm] \in [/mm] K$ gilt: $a [mm] \cdot [/mm] 0 = 0$
$(0+0) [mm] \cdot [/mm] a = 0a+0a=0$
Aber wieso ist das dadurch schon bewiesen?
Mein erster Gedanke dabei war, dass man, wenn man die Multiplikation als "Potenz" der Addition erklärt, also $a [mm] \cdot [/mm] 0 = 0+0+...+0$ (a -mal), das Ergebnis selbstverständlich wieder 0 ist. Aber ist das für ein allgemeines a als Element eines beliebigen Körpers nicht zu speziell? Wie soll ich also den Beweis durch das Distributivgesetz verstehen?
lg, Dennis
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Fr 31.07.2009 | | Autor: | Andrey |
> Mein erster Gedanke dabei war, dass man, wenn man die
> Multiplikation als "Potenz" der Addition erklärt, also [mm]a \cdot 0 = 0+0+...+0[/mm]
Nnaaaja, ne, so ist es nicht gedacht... Versuch doch mal für [mm] i\in\IC [/mm] die 0 i mal mit sich selbst zu addieren.... oder versuch mal in irgendeinem körper a'la [mm] \IZ[X]/ [/mm] sowas hinzuschreiben... das ergibt doch in keinem körper sinn, außer man nimmt ganze zahlen aus den reellen oder so.
Imho dürfte es so gehen:
0a=(0)a=(0+0)a=0a+0a
<=>
0=0a
im ersten schritt klammert man einfach, das macht gar nix
im zweten schritt nutzt man aus dass 0 das neutrale element bzgl addition ist
im dritten schritt distributivgesetz
danach auf beiden seiten 0a subtrahieren, das darf man immer.
schon steht's da
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:49 Fr 31.07.2009 | | Autor: | pittster |
Ich glaub, jetzt hat es "klick" gemacht =)
Normalerweise hab ich nicht solche Probleme mit beweisen, die eigentlich recht einfach sind. Aber manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht und das einfachste wird sehr sehr schwer....
Danke für Deine Geduld :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Fr 31.07.2009 | | Autor: | pittster |
Mit einer kleinen Frage, die mir gerade auf der Zunge brennt, muss ich dich aber noch belästigen:
Ist es zu weit hergeholt, wenn ich versuche, $(-1) [mm] \cdot [/mm] a= -a$ folgendermaßen zu beweisen?
$(-1+1) [mm] \cdot [/mm] a = 1 [mm] \cdot [/mm] a + (-1) [mm] \cdot [/mm] a = a + (-a) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] -1 [mm] \cdot [/mm] a = -a$
lg, Dennis
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Das stimmt so nicht, weil du während des Beweises verwendest, was du erst noch zeigen willst.
Gehen wir davon aus, daß [mm]0 \cdot a = 0[/mm] schon bewiesen ist. Dann kannst du folgendermaßen schließen:
einerseits: [mm](-1+1) \cdot a = 0 \cdot a = 0[/mm]
andererseits: [mm](-1+1) \cdot a = (-1) \cdot a + 1 \cdot a = (-1) \cdot a + a[/mm]
Durch Vergleich folgt: [mm]0 = (-1) \cdot a + a[/mm]
Wenn zwei Elemente aber in der Summe 0 geben, sind sie invers zueinander, also [mm](-1) \cdot a = -a[/mm].
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