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| Aufgabe | | Sei $G$ eine abelsche Gruppe, die transitiv und treu auf einer Menge $M$ operiere [mm] $\Rightarrow$ [/mm] die Operation ist frei, d.h.: [mm] $G_x=\left\{e\right\}$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] M$, wobei [mm] $G_x$ [/mm] die Fixgruppe von $x$ bezeichne. |
Beweis: Sei [mm] $x\in [/mm] M$ und [mm] $\sigma \in G_x$ $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\sigma [/mm] x = x$ (*)
nach Definition von [mm] $G_x$. [/mm] $G$ operiert transitiv auf $M$, d.h.: [mm] $M_x=M$, [/mm] wobei [mm] $M_x$ [/mm] die Bahn von $x$ bezeichne [mm] $\Rightarrow$ [/mm] es existiert ein [mm] $\tau \in [/mm] G$ mit
[mm] $x=\tau [/mm] x$
Im Zusammenspiel mit (*) bedeutet dies also
[mm] $\sigma x=\tau [/mm] x$ [mm] $\Leftrightarrow$ $\tau^{-1}\sigma [/mm] x=x$
Da $G$ abelsch ist, folgt
[mm] $\tau^{-1}\sigma x=\sigma\tau^{-1}x$ $\Leftrightarrow$ $\sigma^{-1}\tau^{-1}\sigma x=\tau^{-1}x$ $\Leftrightarrow$ $\sigma^{-1}\tau^{-1}\sigma\tau [/mm] x=x$
Jetzt bin ich mir nicht sicher, ob ich mich nicht bereits verzettelt habe; denn aufgrund der Kommutativität ist [mm] $\sigma^{-1}\tau^{-1}\sigma\tau [/mm] =e$. Außerdem habe ich noch nicht benutzt, dass die Operation treu ist, d.h.:
[mm] $\left(\forall x\in M :\sigma x=x\right)\Rightarrow \sigma [/mm] =e$
gilt. Denke ich darüber nach, so frage ich mich, ob [mm] $\sigma [/mm] = e$ nicht bereits aus (*) folgt, da $x$ beliebig war. Dann wiederum würde sich aber die Frage stellen, wozu ich überhaupt die Eigenschaften "abelsch" und "transitiv" in dieser Aufgabe benötige.
Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand meine kleine Verwirrung beseitigen könnte ;)
Gruß
Differential
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Hi Differential,
ich habe auch das Gefühl, dass du dich ein bisschen verzettelt hast. Du nimmst zum Beispiel an, dass [mm] $x=\sigma [/mm] x$ und folgerst die Existenz eines [mm] $\tau$, [/mm] sodass [mm] $x=\tau [/mm] x$? Das ist doch klar, du kannst ja einfach [mm] $\sigma$ [/mm] wählen. Zusammen mit [mm] $\sigma\tau\sigma^{-1}\tau^{-1}x=1x$ [/mm] hast du dann noch eine triviale Folgerung erzielt, die aber wegen der Kommutativität ähnlich nützlich ist, wie du richtig bemerkt hast :D Ich schlage vor, du machst dir die folgenden alternativen Definitionen klar:
Def.: Eine Operation ist transitiv genau dann, wenn alle Stabilisatoren konjugiert sind.
Def.: Eine Operation ist treu genau dann, wenn der Durchschnitt aller Stabilisatoren trivial ist.
In Verbindung mit der Kommutativität von $G$ ist die Behaptung dann völlig trivial.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hallo UniversellesObjekt,
was genau verstehst du unter alle Stabilisatoren sind konjugiert? Zwei Elemente [mm] $\sigma ,\tau$ [/mm] heißen ja konjugiert [mm] $:\Leftrightarrow$ $\exists g\in [/mm] G [mm] :\sigma [/mm] = [mm] \tau^g :=g\tau g^{-1}$.
[/mm]
Gruß
Differential
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Das $ [mm] \tau^g [/mm] $ ist zu viel. Wenn [mm] \sigma, \tau [/mm] jetzt Untergruppen sind statt Elemente, dann hast die Definition für konjugierte Untergruppen.
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Es sollte natürlich [mm] $\sigma [/mm] = [mm] \tau^g [/mm] := [mm] g^{-1}\tau [/mm] g$ heißen. Ich versuche mal die Äquivalenz zu zeigen.
Seien [mm] $\sigma\in G_x$ [/mm] und [mm] $\tau\in G_y$ [/mm] für [mm] $x,y\in [/mm] M$ [mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $x=\sigma [/mm] x$ [mm] $\wedge$ $y=\tau [/mm] y$
$G$ operiert transitiv auf $M$ [mm] $\Leftrightarrow$ $M_x=M=M_y$ $\Leftrightarrow$ [/mm] es existiert ein [mm] $g\in [/mm] G$ mit
$x=gy$ [mm] $\Leftrightarrow$ $g^{-1}\sigma gy=\tau [/mm] y$ [mm] $\Leftrightarrow$ $g^{-1}\sigma g=\tau$ [/mm] (*)
[mm] $\Leftrightarrow$ $\sigma ,\tau$ [/mm] sind konjugiert.
Das müsste es gewesen sein, da alle Aussagen äquivalent zueinander sind, wobei ich mir bei der rechten Seite des zweiten Äquivalenzzeichens in (*) nicht sicher bin.
Angenommen ich hätte jetzt beide Äquivalenzen, also auch die von einer treuen Operation gezeigt. Wie folgt dann die Behauptung?
Ist $G$ eine abelsche Gruppe, die transitiv und treu auf einer Menge $M$ operiert, so folgt aus der Transitivität nun die Konjugiertheit aller Fixgruppen bzgl. $M$, d.h.:
[mm] $\exists g\in [/mm] G [mm] :\sigma =g^{-1}\tau [/mm] g$
für alle [mm] $\sigma\in G_x$ [/mm] und [mm] $\tau\in G_y$ [/mm] sowie [mm] $x,y\in [/mm] M$. Da $G$ abelsch ist folgt
[mm] $\sigma =\tau$
[/mm]
Aufgrund der Treue der Operation gilt [mm] $G_x\cap G_y =\left\{e\right\}$. [/mm] Also muss [mm] $\sigma =\tau [/mm] =e$ gelten.
Was meinst du dazu?
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Hi,
es ist alles richtig. Ich schreibe es dir einfach nochmal in komprimierter Form auf:
1. Schritt: Liegen $ x, [mm] y\in [/mm] M $ im selben Orbit, so sind die Isotropiegruppen konjugiert.
Beweis: Es gibt dann ein $ [mm] g\in [/mm] G $ mit $ gx=y $. Dann gilt $ [mm] h\in G_y\iff hy=y\iff hgx=gx\iff g^{-1} hgx=x\iff g^{-1} hg\in G_x\iff h\in [/mm] g [mm] G_x g^{-1} [/mm] $.
Ist insbesondere $ G $ transitiv, so gibt es nur einen Orbit, also gilt obiges für alle $ x, y $, also sind alle Isotropiegruppen konjugiert.
2. Schritt: Alle Isotropiegruppen sind gleich.
Beweis: Sind $ [mm] G_x, G_y [/mm] $ zwei Isotropiegruppen, so gilt $ [mm] G_y=g G_x g^{-1}= G_x [/mm] $ wegen der Kommutativität von $ G $.
3. Schritt: Für alle $ y$ ist $ [mm] G_y=\bigcap_x G_x [/mm] $.
Beweis: Alle Untergruppen, über die geschnitten wird, sind gleich $ [mm] G_y [/mm] $.
4. Schritt: Wegen Treue der Operation ist der Durchschnitt der Isotropiegruppen trivial und nach 3. auch jede einzelne Isotropiegruppe.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Super, ich danke dir - mal wieder ;)
Auch für deine sehr guten Erklärungen!
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