abelsche Gruppen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 So 10.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung 175 abelsch ist? |
175=5²*7
175 ist also zerlegbar in Primzahlpotenzen 5² und 7.
Man weiß, dass eine endliche abelsche Gruppe in eine direkte Summe von zyklischen Untergruppen zerlegt werden kann. Und somit ist sie isomorph zu einem bis auf Reihenfolge der Faktoren, eindeutig bestimmten direkten Produkt von Gruppen der [mm]\IZ/[/mm] von Pimzahlpotenzordnung.
Dann ist die Gruppe abelsch, also Gruppe der Ordnung 175 ist abelsch.
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 10.02.2008 | | Autor: | Manuela |
> Zeigen Sie, dass jede Gruppe der Ordnung 175 abelsch ist?
> 175=5²*7
> 175 ist also zerlegbar in Primzahlpotenzen 5² und 7.
> Man weiß, dass eine endliche abelsche Gruppe in eine
> direkte Summe von zyklischen Untergruppen zerlegt werden
> kann. Und somit ist sie isomorph zu einem bis auf
> Reihenfolge der Faktoren, eindeutig bestimmten direkten
> Produkt von Gruppen der [mm]\IZ/[/mm] von Pimzahlpotenzordnung.
> Dann ist die Gruppe abelsch, also Gruppe der Ordnung 175
> ist abelsch.
>
> Ist das so richtig?
>
Du solltest Zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 175 abelsch ist und nicht nur dass es eine solche gibt.
Hast du schon die Sylow-Sätze gehabt? Die helfen hier weiter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 10.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
> >
> Du solltest Zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 175
> abelsch ist und nicht nur dass es eine solche gibt.
>
Also 175=5²*7
Wenn ich zu jedem Teiler d der Gruppenordnung eine Untergruppe von G der Ordnung d finde, dann ist G abelsch.
5-SylowUntergruppe mit Ordnung 25; s[mm]\_5=1 +5l [/mm] und s[mm]\_5[/mm] teilt 175 und s[mm]\_5[/mm] teilt 7.
Das gilt für s[mm]\_5[/mm]= {1}?
7-SylowUG mit Ordnung 7;
s[mm]\_7=1+7k[/mm] und s[mm]\_7[/mm] teilt 175 und s[mm]\_7[/mm] teilt 25.
Das gilt für s[mm]\_7[/mm]={1}
Da nach dem 3. SylowSatz je zwei p-Sylowuntergruppen U und V zueinander konjugiert sind, d.h. es gibt ein a[mm]\in G[/mm] mit U= aV[mm]a^{-1}[/mm]. Da U=V ist G abelsch.
Stimmt das dann so?
Was bedeutet eigentlich s[mm]\_7=1+7k[/mm]={1}
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 So 10.02.2008 | | Autor: | Manuela |
> > >
> > Du solltest Zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 175
> > abelsch ist und nicht nur dass es eine solche gibt.
> >
> Also 175=5²*7
> Wenn ich zu jedem Teiler d der Gruppenordnung eine
> Untergruppe von G der Ordnung d finde, dann ist G abelsch.
>
> 5-SylowUntergruppe mit Ordnung 25; s[mm]\_5=1 +5l[/mm] und s[mm]\_5[/mm]
> teilt 175 und s[mm]\_5[/mm] teilt 7.
> Das gilt für s[mm]\_5[/mm]= {1}?
>
> 7-SylowUG mit Ordnung 7;
> s[mm]\_7=1+7k[/mm] und s[mm]\_7[/mm] teilt 175 und s[mm]\_7[/mm] teilt 25.
> Das gilt für s[mm]\_7[/mm]={1}
>
>
> Da nach dem 3. SylowSatz je zwei p-Sylowuntergruppen U und
> V zueinander konjugiert sind, d.h. es gibt ein a[mm]\in G[/mm] mit
> U= aV[mm]a^{-1}[/mm]. Da U=V ist G abelsch.
>
> Stimmt das dann so?
> Was bedeutet eigentlich s[mm]\_7=1+7k[/mm]={1}
[mm] s_{7} [/mm] ist die Anzahl der 7 Sylow- Untergruppen.
[mm] s_{7}=1+7k[/mm]={1} [/mm] bedeutet damit, dass es genau eine 7-Sylow gibt. Wenn das der Fall ist weißt du insbes, dass die 7-Sylow Normalteiler ist. Analog ist damit auch die 5-Sylow Normalteiler.
Nun kannst du die direkte Summe aus den Sylow Gruppen konstruieren
und findest so bis auf Isomorphie genau 2 abelsche Gruppen der Ordnung 175. Eine davon ist sogar zyklisch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:17 Mo 11.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
> > > >
> > > Du solltest Zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 175
> > > abelsch ist und nicht nur dass es eine solche gibt.
> > >
> > Also 175=5²*7
> > Wenn ich zu jedem Teiler d der Gruppenordnung eine
> > Untergruppe von G der Ordnung d finde, dann ist G abelsch.
> >
> > 5-SylowUntergruppe mit Ordnung 25; s[mm]\_5=1 +5l[/mm] und s[mm]\_5[/mm]
> > teilt 175 und s[mm]\_5[/mm] teilt 7.
> > Das gilt für s[mm]\_5[/mm]= {1}?
> >
> > 7-SylowUG mit Ordnung 7;
> > s[mm]\_7=1+7k[/mm] und s[mm]\_7[/mm] teilt 175 und s[mm]\_7[/mm] teilt 25.
> > Das gilt für s[mm]\_7[/mm]={1}
> >
> >
> > Da nach dem 3. SylowSatz je zwei p-Sylowuntergruppen U und
> > V zueinander konjugiert sind, d.h. es gibt ein a[mm]\in G[/mm] mit
> > U= aV[mm]a^{-1}[/mm]. Da U=V ist G abelsch.
>
|G|= [mm]p^{r_1} *...*p^{r_k} = G_{p_1} \oplus...\oplus G_{p_k}[/mm]
Anzahl der Isomorphietypen einer abelschen Gruppe der Ordnung [mm]p^{r_1} *...*p^{r_k}[/mm] ist [mm]µ=(r_1)*...*µ(r_k)[/mm]
Also [mm]G_{p_1}=G_5; µ(r_1)=µ(2)[/mm]
Partitionen von 2 gibt es genau 2 :(1,1) und (2)
Daraus folgt [mm] \IZ modulo <5> \times \IZ modulo <5>[/mm]
und [mm] \IZ modulo <5^2>[/mm]
Für [mm]G_{7} = \IZ modulo <7>[/mm]
Daraus folgt G ist zu einer dieser Gruppen isomorph:
[mm] \IZ modulo <5> \times \IZ modulo <5>\times \IZ modulo <7>[/mm]
[mm] \IZ modulo <5^2>\times \IZ modulo <7>[/mm]
Daraus folgt G darstellbar als G= [mm] G_{(5)}\oplus G_{(7)} [/mm]und daraus folgt jede solche Gruppe G ist abelsch.
Ist das jetzt so richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Mo 11.02.2008 | | Autor: | Manuela |
> > > > >
> > > > Du solltest Zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 175
> > > > abelsch ist und nicht nur dass es eine solche gibt.
> > > >
> > > Also 175=5²*7
> > > Wenn ich zu jedem Teiler d der Gruppenordnung eine
> > > Untergruppe von G der Ordnung d finde, dann ist G abelsch.
> > >
> > > 5-SylowUntergruppe mit Ordnung 25; s[mm]\_5=1 +5l[/mm] und s[mm]\_5[/mm]
> > > teilt 175 und s[mm]\_5[/mm] teilt 7.
> > > Das gilt für s[mm]\_5[/mm]= {1}?
> > >
> > > 7-SylowUG mit Ordnung 7;
> > > s[mm]\_7=1+7k[/mm] und s[mm]\_7[/mm] teilt 175 und s[mm]\_7[/mm] teilt 25.
> > > Das gilt für s[mm]\_7[/mm]={1}
> > >
> > >
> > > Da nach dem 3. SylowSatz je zwei p-Sylowuntergruppen U und
> > > V zueinander konjugiert sind, d.h. es gibt ein a[mm]\in G[/mm] mit
> > > U= aV[mm]a^{-1}[/mm]. Da U=V ist G abelsch.
> >
> |G|= [mm]p^{r_1} *...*p^{r_k} = G_{p_1} \oplus...\oplus G_{p_k}[/mm]
>
> Anzahl der Isomorphietypen einer abelschen Gruppe der
> Ordnung [mm]p^{r_1} *...*p^{r_k}[/mm] ist [mm]µ=(r_1)*...*µ(r_k)[/mm]
>
> Also [mm]G_{p_1}=G_5; µ(r_1)=µ(2)[/mm]
> Partitionen von 2 gibt es
> genau 2 :(1,1) und (2)
> Daraus folgt [mm]\IZ modulo <5> \times \IZ modulo <5>[/mm]
> und
> [mm]\IZ modulo <5^2>[/mm]
>
> Für [mm]G_{7} = \IZ modulo <7>[/mm]
>
> Daraus folgt G ist zu einer dieser Gruppen isomorph:
> [mm]\IZ modulo <5> \times \IZ modulo <5>\times \IZ modulo <7>[/mm]
>
> [mm]\IZ modulo <5^2>\times \IZ modulo <7>[/mm]
>
> Daraus folgt G darstellbar als G= [mm]G_{(5)}\oplus G_{(7)} [/mm]und
> daraus folgt jede solche Gruppe G ist abelsch.
>
> Ist das jetzt so richtig?
>
Ja genau
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Mo 11.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | | Geben Sie eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 118 an, die einen abelschen Normalteiler ungleich {e} besitzt. |
118= 2*59
Wie gibt man eine nichtabelsche Gruppe an?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Mo 11.02.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Geben Sie eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 118 an,
> die einen abelschen Normalteiler ungleich {e} besitzt.
> 118= 2*59
> Wie gibt man eine nichtabelsche Gruppe an?
Schreib einfach [mm] D_{59} [/mm] hin.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:00 Di 12.02.2008 | | Autor: | TTaylor |
> Hi!
>
> > Geben Sie eine nicht abelsche Gruppe der Ordnung 118 an,
> > die einen abelschen Normalteiler ungleich {e} besitzt.
> > 118= 2*59
> > Wie gibt man eine nichtabelsche Gruppe an?
>
> Schreib einfach [mm]D_{59}[/mm] hin.
>
Die Diedergruppe ist eine nicht kommutative Gruppe.
Nach Lagrange gilt: 118=2*59 Also gibt es eine Untergruppe der Ordnung 59, die Normalteiler ist. Da Untergruppen mit Index 2 immer Normalteiler sind.
Denn es gibt zwei Links- bzw. Rechtenebenklassen von UG in G.
Eine ist eU=Ue. Dann wenn a[mm]\in U[/mm], so ist aU=U=Ua
wenn a[mm]\not\in U[/mm],dann ist das die zweite: Da G =[mm]U\cup aU=U \cup Ua[/mm] und [mm] U \cap aU=U \cap Ua = \emptyset[/mm] Deshalb ist aU= [mm] G\U [/mm] =Ua. Man erhält aU=Ua für alle [mm]a\in G, U ist Normalteiler[/mm] .
Aber warum ist die Diedergruppe nicht kommutativ? Wie kann ich das zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:56 Di 12.02.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Aber warum ist die Diedergruppe nicht kommutativ? Wie kann
> ich das zeigen?
Nimm ein Blatt Papier und zeichne das regelmäßige 59-Eck, so gut es eben geht. Und dann nimm eine Spiegelung s und eine Drehung d und führ sie nacheinander aus, einmal sd und einmal ds, und guck, was mit den Ecken so passiert, also wohin sie jeweils abgebildet werden.
Damit es einfacher wird: Numerier die Ecken von 1 bis 59, nimm für d die Drehung, die 1 auf 2 dreht, und für s die Spiegelung an der Geraden durch 1. Was wird in den beiden Fällen aus 1?
Wenn dir die Zeichnung des 59-Ecks aus freier Hand nicht so richtig gelingt, kannst du es ja erst am regelmäßigen Dreieck üben.
Wenn du das abstrakt machen willst, müßtest du dich mit den erzeugenden Relationen auseinandersetzen, aber das ist dann wieder eine Welt für sich.
Gruß aus HH-Hamburg
Dieter
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