abgeschl./offene Teilmengen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hallo ihr lieben ich habe da folgendes Problemchen:
Wie zeige ich, dass eine bestimmte Menge eine abgeschlossene bzw. offene Teilmenge des [mm] \IR² [/mm] ist?
Zum Beispiel heirbei:
Die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] sei in jedem Punkt stetig. Zeige:
1. A = { (x,y) aus [mm] \IR² [/mm] mit y=f(x) }ist eine abgeschlossene Teilmenge des [mm] \IR²
[/mm]
2. B = { (x,y) aus [mm] \IR² [/mm] mit y>f(x) } ist eine offene Teilmenge von [mm] \IR²
[/mm]
Ich bedanke mich jetzt schonmal für jede Antwort!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Wie genau du argumentierst, hängt natürlich von den Definitionen und Sätzen ab, die ihr bekommen habt. Aber für (1) z.B. wäre es sehr angenehm, wenn ihr die abgeschlossene Menge, als eine Menge, die all ihre Randpunkte enthält, charakterisiert habt -ich kenns eigentlich gar nicht anders- und Randpunkte sind auch definierbar als Punkte, die sich als Grenzwerte einer Folge von Punkten aus A ergeben. Denn dann sei (x_{n], y_{n}) = (x_{n}, f(x_{n}) eine Folge aus A, die gegen g= (x_{0}, y_{0}) konvergiert. Wegen der Stetigkeit von f gilt dann y_{0} = f(x_{0}) und damit gilt g \in A! Für (2) brauchst du ne Definition einer offenen Menge, die wird meist definiert als eine Menge, di mit jedem Punkt eine Umgebung dieses Punktes enthält, praktisch ist auch die Eigenschaft, dass Komplemente abgeschlossener Mengen offen sind, wenn du das verwendest, könntest du bei (2) ähnlich argumentieren wie bei (1)... hoffentlich hifts!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
ok ja genauso waren unsere Definitionen auch, danke das hilft mir sehr, aber am Ende zu 1. steht bei dir " dann folgt dass g\ in A ist. Aber g\ was? g ohne x?
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Eigentlich wollte ich nur g schreiben, das ich ja oben definiert hatte als
g=( [mm] x_{0},y_{0} [/mm] ), also als Grenzwert dieser Folge und dann wollte ich das Elementzeichen einfügen, von dem leider nur \ angekommen ist.... Hm, komm irgendwie mit diesem Formelsystem nich so klar, sorry..., ich wollte also sagen, dass g ein Element von A ist, jetzt probier ichs nochmal mit Formeln: g [mm] \in [/mm] A...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:49 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
ok gut, wäre auch sonst komisch. danke schonmal, so bei 2. hatten wir als Definition einer offenen Menge, dass jeder Punkt in A innerer Punkt sein muss. und ein innerer Punkt ist definiert mit der [mm] \varepsilon-Umgebung(x) [/mm] welche dann eine Teilmenge von A sein muss. Wie kann ich das denn jetzt bei 2. verwenden?
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Ick fürchte, dass du da jetzt mit der Epsilon-delta Definition der Stetigkeit arbeiten musst... Für u=(x;y) [mm] \in [/mm] B setze [mm] \varepsilon= [/mm] (y - f(x))/2...so, und nu nutze die Epsilon-delta Bedingung so, dass für |x-x´|< delta gilt
|f(x) - f(x´)|< epsilon... so, jetzt die Umgebung von u durch ||u - u´|| < r, mit r= Minimum von epsilon und delta... Jetzt müsste es klappen:
y´-f (x´) = y´- y + .......... >0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 17.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hä irgendwie verstehe ich das nicht so ganz. Was hast du denn da jetzt gemacht? Wieso muss ich denn jetzt epsilon und delta verwenden?
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Also,is schon ein bisschen spät und ich bin auch ein bisschen betrunken, aber, ich denke Epsilon und delta bieten sich an, wenn du mit der Definition der offenen Menge arbeiten willst, das heißt, wenn du zeigen willst, dass jedes Element deiner Menge eine Umgebung besitzt, die ebenfalls in dieser Menge enthalten ist, denn so ne Umgebung is ja über die euklidische Norm auch über so eine Ungleichung definiert: ||u - u´|| <r, das is das Innere eines Kreises um u mit Radius r... und da war meine Idee, dass wenn für u(x,y) gilt y>f(x), dass dann epsilon so gewählt werden kann, dass y - f(x) = [mm] 2\varepsilon [/mm] ist, die Epsilon-Delta Steigkeitsdefinition ermöglicht mir es dann die obige Umgebung so klein zu machen, dass für u´=(x´,y´) aus dieser Umgebung f(x´) von f(x) um höchstens Epsilon abweicht, wobei die Umgebung dann noch gleichzeitig kleiner als Epsilon sein soll... zeichne dir das auf, dann siehst du, dass unter diesen Bedingungen y´> f(x´) gilt, das heisst, dass u´aus B ist! Die formale Rechnung dafür wäre:
y´- f(x´) = (y´- y) + (y - f(x)) + (f(x) - f(x´)) > [mm] -\varepsilon [/mm] + [mm] 2\varepsilon [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] =0... Aber, vielleicht fällt dir ja auch was ohne Epsilon und Delta ein....
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Wollte noch schnell anmerken, dass (1) direkt aus (2) folgt:
Man zeigt: Was hier für ">" gilt, gilt analog auch für "<". Dann hat man 2 offene Mengen. Deren Vereinigung ist wieder offen. Das Komplement ist daher abgeschlossen - fertig.
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