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| Aufgabe | | Sei C[0,1] versehen mit der Metrik [mm] d\infty(f,g) [/mm] := [mm] \parallelf-g\parallel\infty [/mm] (f,g [mm] \in [/mm] C[0,1]. Zeigen Sie, dass die Menge A:= {f [mm] \in [/mm] C[0,1] | f(x) [mm] \ge [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] [0,1]} abgeschlossen ist und bestimmten Sie den Rand [mm] \partial [/mm] A von A. |
Hallo Leute,
ich sitze schon ziemlich lange an dieser Aufgabe. Ich hab mir überlegt mir eine Funktionenfolge zu definieren die gegen f konvergiert. Dann weiß ich aber irgendwie nicht mehr wirklich wie ich weiter machen soll. Hat jemand einen Tip?
Liebe Grüße und vielen lieben Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Fr 01.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei C[0,1] versehen mit der Metrik [mm]d\infty(f,g)[/mm] :=
> [mm]\parallelf-g\parallel\infty[/mm] (f,g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
C[0,1]. Zeigen Sie,
> dass die Menge A:= {f [mm]\in[/mm] C[0,1] | f(x) [mm]\ge[/mm] 0 für alle x
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1]} abgeschlossen ist und bestimmten Sie den Rand
> [mm]\partial[/mm] A von A.
>
> Hallo Leute,
> ich sitze schon ziemlich lange an dieser Aufgabe. Ich hab
> mir überlegt mir eine Funktionenfolge zu definieren die
> gegen f konvergiert.
Was soll $f$ sein? Ein Element aus der Menge?
> Dann weiß ich aber irgendwie nicht
> mehr wirklich wie ich weiter machen soll. Hat jemand einen
> Tip?
Zur Abgeschlossenheit:
Nimm dir eine Funktionenfolge aus $A$ und zeige, dass der Grenzwert auch in $A$ liegt. Das ist wirklich nicht schwer. (Was bedeutet Konvergenz bzgl. [mm] $d_\infty$?)
[/mm]
Zum Rand: da $A$ abgeschlossen ist liegt der Rand in $A$. Du musst also Elemente aus $A$ finden, die sich durch Elemente aus $C[0, 1] [mm] \setminus [/mm] A$ approximieren lassen.
Ich behaupte mal frechweg: [mm] $\partial [/mm] A = [mm] \{ f \in C[0, 1] \mid f(x) = 0 \text{ fuer ein } x \in [0, 1] \}$.
[/mm]
Kannst ja erstmal zeigen das alle solchen Funktionen in [mm] $\partial [/mm] A$ liegen. (Tipp: ziehe eine Folge [mm] $(g_n)_n$ [/mm] von Funktionen ab, die einfach ist, deren [mm] $\infty$-Norm [/mm] gegen 0 geht und die [mm] $g_n(x) [/mm] < 0$ erfuellt fuer ein $x$ mit $f(x) = 0$.)
Fuer die Rueckrichtung zeig: wenn $f$ keine Nullstelle ist, dann gibt es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ mit $f(x) > [mm] \varepsilon$ [/mm] fuer alle $x [mm] \in [/mm] [0, 1]$. (Benutze dass $[0, 1]$ kompakt ist.) Dann zeige, dass es keine Folge aus $C[0, 1] [mm] \setminus [/mm] A$ gibt, die gegen $f$ konvergiert.
LG Felix
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Hey,
danke schon mal. Das mit der Abgeschlossenheit hab ich auch gezeigt und das ist mir klar. Aber das mit dem Rand verstehe ich nicht so ganz, was es bringen soll wenn ich die beiden folgen voneinander abziehe. ich hab mir gn = -1/n x hoch n gewählt, aber naja... ich versteh halt den Kontext net so ganz. Kannst du mir noch ein bisschen helfen? Danke dir...
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Vielleicht kann mri auch jemand andres helfen, ich weiß halt nur nicht wie ich das ganze interpretieren soll...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 So 03.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> danke schon mal. Das mit der Abgeschlossenheit hab ich
> auch gezeigt und das ist mir klar. Aber das mit dem Rand
> verstehe ich nicht so ganz, was es bringen soll wenn ich
> die beiden folgen voneinander abziehe. ich hab mir gn =
> -1/n x hoch n gewählt, aber naja... ich versteh halt den
> Kontext net so ganz. Kannst du mir noch ein bisschen
> helfen? Danke dir...
Du suchst eine Folge aus Funktionen, die nicht in $A$ liegen und die gegen $f$ konvergieren. Also nimmst du am besten $f$ und ziehst etwas ab was gegen 0 konvergiert, so dass $f - [mm] g_n$ [/mm] immer ausserhalb von $A$ liegt. Also an mindestens einer Stelle negativ wird.
Wenn du etwa [mm] $g_n(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] waehlst (also konstant), was passiert dann?
LG Felix
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Nun ja, dann haben wir einmal eine folge außerhalb von A die gegen f konvergiert und weil A abgeschlossen ist liegt wenn wir uns ja ne konvergenten folge aus A nehmen, die gegen f konvergiert diese wieder in A. Somit ist für mindestens eine Stelle der Schnitt der Umgebung mit dem Komplement von C und der Schnitt der Umgebung mit C nicht leer, daraus folgt die Funktionen müssen im Rand liegen, is das richtig?
So dann noch die Rückrichtung;)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mo 04.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Nun ja, dann haben wir einmal eine folge außerhalb von A
> die gegen f konvergiert
Ja.
> und weil A abgeschlossen ist liegt
> wenn wir uns ja ne konvergenten folge aus A nehmen, die
> gegen f konvergiert diese wieder in A.
Und was hat das mit der Folge oben zu tun? Die liegt ja gerade nicht in $A$.
> Somit ist für
> mindestens eine Stelle der Schnitt der Umgebung mit dem
> Komplement von C und der Schnitt der Umgebung mit C nicht
> leer, daraus folgt die Funktionen müssen im Rand liegen, is
> das richtig?
Was soll `Stelle' jetzt sein? Und was ist $C$?
Schreib das doch bitte etwas genauer/sauberer auf.
LG Felix
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