abgeschlossene Menge < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [math]f: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2[/math] eine stetige Funktion. Sei [math]A\subset \mathbb{R}^2[/math] und abgeschlossen. Zeige, dass [math]f^{-1}(A)=\{x \mid x\in \mathbb{R}^3, f(x)\in A\}[/math] auch abgeschlossen ist. |
Ist die Lösung so ok.
Da [maht]f[/math] stetig ist gilt:
zu jedem [math]\epsilon>0[/math] existiert ein [math]\delta>0[/math], sodass
für alle [math]x\in D[/math] [math]\mid x-x_{0}\mid<\delta[/math] gilt und auch [math]\mid f(x)-f(x_{0})\mid<\epsilon[/math].
Sei nun [math]f(x')\notin A[/math]. Da [math]A[/math] abgeschlossen ist, ist das Komplement offen. Also ist [math]f(x')[/math] Element einer offenen Menge. Also existiert ein [math]\epsilon'>0[/math] für das gilt:
[math]\forall \mid f(x')-f(x'')\mid<\epsilon':f(x'')\in \mathbb{R}^2\backslash A[/math]. Dabei ist wegen der Stetigkeit [math]\mid x'-x''\mid <\delta'[/math].
Also zusammengefasst [math]\forall \mid f(x')-f(x'')\mid<\epsilon':\mid x'-x''\mid <\delta'[/math]. Damit ist [math]f^{-1}(A)[/math] abgeschlossen, da das Komplement offen ist.
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Hallo,
> Sei [math]f: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^2[/math] eine stetige
> Funktion. Sei [math]A\subset \mathbb{R}^2[/math] und abgeschlossen.
> Zeige, dass [math]f^{-1}(A)=\{x \mid x\in \mathbb{R}^3, f(x)\in A\}[/math]
> auch abgeschlossen ist.
> Ist die Lösung so ok.
> Da [maht]f[/math] stetig ist gilt:
> zu jedem [math]\epsilon>0[/math] existiert ein [math]\delta>0[/math], sodass
> für alle [math]x\in D[/math] [math]\mid x-x_{0}\mid<\delta[/math] gilt und auch [math]\mid f(x)-f(x_{0})\mid<\epsilon[/math].
> Sei nun [math]f(x')\notin A[/math]. Da [math]A[/math] abgeschlossen ist, ist das
> Komplement offen. Also ist [math]f(x')[/math] Element einer offenen
> Menge. Also existiert ein [math]\epsilon'>0[/math] für das gilt:
> [math]\forall \mid f(x')-f(x'')\mid<\epsilon':f(x'')\in \mathbb{R}^2\backslash A[/math].
> Dabei ist wegen der Stetigkeit [math]\mid x'-x''\mid <\delta'[/math].
Hm, wenn ich das richtig verstehe, schließt du aus [mm] $x',x''\in\IR^3$, [/mm] für die [mm] $|f(x')-f(x'')|<\varepsilon'$ [/mm] gilt, dass es ein [mm] $\delta>0$ [/mm] gibt mit [mm] $|x'-x''|<\delta$.
[/mm]
Das ist aber denke ich allgemein falsch, es gilt in der Definition der Stetigkeit über Epsilon-Delta nur die andere Richtung, also aus dem Abstand der x-Werte<Delta muss folgen, dass der Abstand der Funktionswerte<Epsilon ist.
> Also zusammengefasst [math]\forall \mid f(x')-f(x'')\mid<\epsilon':\mid x'-x''\mid <\delta'[/math].
> Damit ist [math]f^{-1}(A)[/math] abgeschlossen, da das Komplement offen
> ist.
>
Ganz 100% durchblicke ich deinen Beweis nicht, ich vermute halt, dass dort der Knackpunkt ist.
Habt ihr denn die topologische Definition von Stetigkeit gehabt, damit geht der Beweis am einfachsten (also Urbilder offener Mengen sind wieder offen).
Gruß
Johannes
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Hallo, danke für deine Antwort.
Ich kenne den Satz, dass eine Funktion genau dann stetig ist, wenn das Urbild jeder offenen Teilmenge, wieder offen ist. Ich wollte nur einen weg über das epsilon-delta-Kriterium finden. Die Definition der topologischen Stetigkeit [math]}\forall V(f(a)) \exists U(a):f(U(a))\subset V(f(a))[/math] kenne ich.
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Die Argumentation für dieses [math]\delta'[/math] könnte so aussehen.
Setze voraus, dass [math]f[/math] stetig ist. Definiere die Menge [math]\mathcal{K}=\{\{x_{1},x_{2}\}\mid \mid f(x_{1})-f(x_{2})\mid<\epsilon\}[/math].
Halte [math]x_{1}[/math] fest. Wegen der Stetigkeit in diesem Punkt gilt [math]\mid x_{1}-x_{2}'\mid <\delta\Rightarrow \mid f(x_{1})-f(x_{2}')\mid <\epsilon[/math]. Damit ist [math]\{x_{1},x_{2}'\}\in \mathcal{K}[/math]. Mit anderen Worten: [math]\forall x_{1}\in D ,\exists \{x_{1},x_{2}'\}\in \mathcal{K} ,\forall \mid f(x_{1})-f(x_{2}')\mid <\epsilon:\mid x_{1}-x_{2}'\mid<\delta[/math]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mi 24.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Argumentation für dieses [math]\delta'[/math] könnte so aussehen.
i.a. wirst Du da - denke ich - keine Argumentation finden (Du arbeitest hier ja nur mit Stetigkeitsargumenten). Man kann vll. eine Argumentation, wie Du sie suchst, finden, wenn die Funktion eine stetige Umkehrfunktion hat. Allerdings gibt es durchaus stetige Funktionen, die keine stetige Umkehrfunktionen haben. Und noch schlimmer ist es, dass es stetige Funktionen gibt, die überhaupt keine Umkehrfunktion haben...
> Setze voraus, dass [math]f[/math] stetig ist. Definiere die Menge
> [math]\mathcal{K}=\{\{x_{1},x_{2}\}\mid \mid f(x_{1})-f(x_{2})\mid<\epsilon\}[/math].
Da blicke ich schon gar nicht mehr durch. Nach Deiner Definition ist [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] ein Mengensystem, also eine Menge von Mengen??? Wenn also $A [mm] \in \mathcal{K}$ [/mm] und $A [mm] \not= \emptyset$, [/mm] so gibt es [mm] $x_1=(r_1,s_1,t_1), x_2=(r_2,s_2,t_2) \in \IR^3$ [/mm] mit [mm] $A=\{x_1,x_2\}$ [/mm] (insbesondere kann auch [mm] $\black{A}$ [/mm] einelementig sein) und [mm] $|f(x_1)-f(x_2)|=|f(r_1,s_1,t_1)-f(r_2,s_2,t_2)| [/mm] < [mm] \epsilon$. [/mm]
> Halte [math]x_{1}[/math] fest. Wegen der Stetigkeit in diesem Punkt
> gilt [math]\mid x_{1}-x_{2}'\mid <\delta\Rightarrow \mid f(x_{1})-f(x_{2}')\mid <\epsilon[/math].
> Damit ist [math]\{x_{1},x_{2}'\}\in \mathcal{K}[/math]. Mit anderen
> Worten: [math]\forall x_{1}\in D ,\exists \{x_{1},x_{2}'\}\in \mathcal{K} ,\forall \mid f(x_{1})-f(x_{2}')\mid <\epsilon:\mid x_{1}-x_{2}'\mid<\delta[/math]
Ab dem "mit anderen Worten" folgerst Du wieder falsch herum, wenn ich das richtig verstehe. Aber ehrlich gesagt, hoffe ich, dass ich das, was ich da verstehe, auch so ist, wie Du es meint, und nicht so, wie Du es geschrieben hast...
Die Stetigkeit von [mm] $\black{f} [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^2$ [/mm] im Punkte [mm] $x_1$ [/mm] liefert hier natürlich in der Tat (wenn [mm] $\delta=\delta_{\epsilon,x_1} [/mm] > 0$ ein zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gefundenes Stetigkeitsdelta im Punkt [mm] $x_1$ [/mm] ist):
[mm] $\forall x_2' \in \IR^3$: $|x_1-x_2'| [/mm] < [mm] \delta$ $\Rightarrow$ $|f(x_1)-f(x_2')| [/mm] < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Was Du da gegen Ende behauptest, da blicke ich gar nicht mehr durch, wenn ich es so lese, wie Du es schreibst:
> Mit anderen
> Worten: [mm]\forall x_{1}\in D ,\exists \{x_{1},x_{2}'\}\in \mathcal{K} ,\forall \mid f(x_{1})-f(x_{2}')\mid <\epsilon:\mid x_{1}-x_{2}'\mid<\delta[/mm]
Ich les' das mal so, wie Du es schreibst:
Wir halten mal irgendein [mm] $x_1 \in [/mm] D$ fest. Dann finden wir eine Menge [mm] $\{x_1,x_2'\} \in \mathcal{K}$, [/mm] die folgendes erfüllt:
Für alle [mm] $|f(x_1)-f(x_2')| [/mm] < [mm] \epsilon$...
[/mm]
Das versteh' ich schon nicht. Welchen Sinn hat das [mm] $\forall$ [/mm] Zeichen hier? [mm] $\{x_1,x_2'\}$ [/mm] hat entweder genau $1$ Element (nämlich [mm] $x_1$), [/mm] oder aber $2$ Elemente... Okay, machen wir mal weiter:
Also, wenn ich das [mm] $\forall$ [/mm] Zeichen mal weglasse, liest es sich so:
Für jedes [mm] $x_1 \in [/mm] D$ gibt es eine Menge [mm] $\{x_1,x_2'\} \in \mathcal{K}$, [/mm] so dass [mm] $|f(x_1)-f(x_2')| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] erfüllt: [mm] $|x_1-x_2'| [/mm] < [mm] \delta$.
[/mm]
Naja, diese Aussage ist trivial, ich betrachte einfach die Menge [mm] $\{x_1,x_2'\}=\{x_1\}$, [/mm] also wo [mm] $x_1=x_2'$ [/mm] gilt. Bringen tut uns das allerdings nichts...
Also erstmal:
Wenn [mm] $x_1$ [/mm] beliebig, aber fest ist, und [mm] $\black{f}$ [/mm] stetig in [mm] $x_1$, [/mm] so ist klar:
Egal, welches (auch noch so kleine) [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ich mir vorgebe, so finde ich immer ein [mm] $\delta=\delta_{x_1,\epsilon} [/mm] > 0$, so dass:
[mm] $\forall [/mm] x$ mit [mm] $|x-x_1| [/mm] < [mm] \delta$ $\Rightarrow$ $|f(x)-f(x_1)| [/mm] < [mm] \epsilon$.
[/mm]
Du behauptest nun, wenn ich Dich richtig verstehe, dass, wenn [mm] $\black{f}$ [/mm] stetig in [mm] $x_1$ [/mm] ist und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$:
[mm] $(\star)$ [/mm] Wenn [mm] $\delta [/mm] > 0$ ein "zu [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $\epsilon$ [/mm] passendes Stetigkeitsdelta" ist, so gilt:
[mm] $|f(x)-f(x_1)| [/mm] < [mm] \epsilon$ $\Rightarrow$ $|x-x_1| [/mm] < [mm] \delta$.
[/mm]
Das kann doch schon nicht stimmen, denn wenn [mm] $\delta [/mm] > 0$ ein Stetigkeitsdelta zu [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $x_1$ [/mm] wäre, so wäre ja auch [mm] $\delta'=\delta/2$ [/mm] ein Stetigkeitsdelta. Wenn [mm] $(\star)$ [/mm] dann auch richtig wäre, wären die $x$ nach [mm] $(\star)$ [/mm] also einerseits [mm] $\delta$-nahe [/mm] an [mm] $x_1$, [/mm] andererseits aber sogar [mm] $\delta'=\delta/2$-nahe [/mm] bei [mm] $x_1$. [/mm] Spinnt man das weiter, so käme man zu dem Schluss, dass es eigentlich keine [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_1$ [/mm] geben kann, auf der [mm] $|f(x)-f(x_1)| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] gelte. Einzig [mm] $x_1$ [/mm] würde das dann erfüllen. Also das passt nicht zusammen.
Und jetzt belegen wir mal, dass Dein Beweis schiefgeht, anhand eines Beispiels, wobei ich der Einfachheit halber jetzt einfach mal eine Funktion [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] betrachte (denn Dein Beweis müßte sich ja auch wörtlich auf solche Funktionen übertragen, da bei Dir an keiner Stelle benutzt wird, dass $f : [mm] \IR^3 \to \IR^2$):
[/mm]
Wir betrachten mal [mm] $f(x):=\sin(x)$ [/mm] auf [mm] $\IR$. [/mm] Die Menge [mm] $A:=\{1\}$ [/mm] ist abgeschlossen. Bekanntlich ist [mm] $f^{-1}(\{1\})=\left\{\frac{\pi}{2}+2\,k\,\pi:\;k \in \IZ\right\}\,.$ [/mm] Nun nehmen wir ein $x'$ mit $f(x') [mm] \notin \{1\}$, [/mm] z.B. $x'=0$. Also [mm] $f(x')=f(0)=\sin(0)=0$. [/mm] Nun betrachten wir ein [mm] $\epsilon' [/mm] > 0$ so, dass für alle $x'' [mm] \in D=\IR$, [/mm] die $|f(x')-f(x'')| < [mm] \epsilon'$ [/mm] erfüllen, auch gilt: $f(x'') [mm] \in \IR \setminus\{1\}$.
[/mm]
In unserem speziellen Fall der Funktion [mm] $f(x)=\sin(x)$ [/mm] können wir dafür einfach irgendein $0 < [mm] \epsilon' [/mm] < 1$ wählen. Wenn Deine Behauptung allg. zuträfe, so müßte sie ja auch hier zutreffen, also:
[mm] ($\star_1$) [/mm] Es müßte eine [mm] $\delta' [/mm] > 0$ geben, so dass folgendes gilt:
Alle $x''$ mit $|f(x')-f(x'')| < [mm] \epsilon' [/mm] < 1$ müssten erfüllen, dass $|x''-x'|=|x''-0| < [mm] \delta'$.
[/mm]
Wenn ich aber [mm] $x'':=n*2\pi$ [/mm] für igendein $n [mm] \in \IZ$ [/mm] wähle, so gilt:
[mm] $|f(x')-f(x'')|=|\sin(0)-\sin(n*2\pi)|=|0-0|=0 [/mm] < [mm] \epsilon'$. [/mm] Also müßte nach Deiner Behauptung [mm] ($\star_1$) [/mm] dann, egal, welches $n [mm] \in \IZ$ [/mm] ich wähle, folglich auch [mm] $|n*2\pi-x'|=|n*2\pi| [/mm] < [mm] \delta'$ [/mm] gelten. Das kann aber für genügend großes $|n| [mm] \in \IN$ [/mm] nicht mehr sein. Also:
I.A. läßt sich keine Argumentation für dein [mm] $\delta' [/mm] > 0$ finden, jedenfalls nicht alleine aus der Stetigkeit von [mm] $\black{f}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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