abstand von (0,0,0) zur ebene < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mi 30.03.2011 | | Autor: | susi111 |
hallo,
wenn die koordinatenform zB 2x+3y+4z=5 ist, wäre die normalenform ja:
[mm] \vektor{2 \\ 3\\4}\*\vektor{x \\ y\\z}=5
[/mm]
ich hab jetzt gelernt, dass man den [mm] |\vec{a}| [/mm] ausrechnen muss. das ist ja die strecke von [mm] \vektor{2 \\ 3\\4} [/mm] zu (0|0|0).
die strecke wäre dann [mm] \wurzel{4+9+16}, [/mm] also [mm] \wurzel{29}.
[/mm]
um den abstand selbst herauszubekommen, muss ich [mm] \vec{a}=1 [/mm] machen.
Heißt das, ich muss [mm] \vektor{2 \\ 3\\4} [/mm] zu 1 machen?
dann haben wir aufgeschrieben:
[mm] \vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\ \bruch{3}{\wurzel{29}}\\\bruch{4}{\wurzel{29}}}\*\vec{x}
[/mm]
ist [mm] \vec{x}=\vektor{x \\ y\\z}?
[/mm]
dann haben wir weiter aufgeschrieben:
[mm] \vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\ \bruch{3}{\wurzel{29}} \\ \bruch{4}{\wurzel{29}}} \* \vec{x}=\bruch{5}{\wurzel{29}}
[/mm]
wie kommt man von
[mm] \vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\ \bruch{3}{\wurzel{29}} \\\bruch{4}{\wurzel{29}}} [/mm] auf [mm] \bruch{5}{\wurzel{29}}?
[/mm]
die 5 ist ja das ergebnis vom skalarprodukt, aber ich sehe den zusammenhang nicht...
könnt ihr mir das erklären?
gruß, susi
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> hallo,
>
> wenn die koordinatenform zB 2x+3y+4z=5 ist, wäre die
> normalenform ja:
>
> [mm]\vektor{2 \\ 3\\4}\*\vektor{x \\ y\\z}=5[/mm]
hallo
hier wurde aus dem vektor ein einheitsvektor (betrag=1) gebildet:
[mm] \sqrt{29}\vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\ \bruch{3}{\wurzel{29}}\\\bruch{4}{\wurzel{29}}}*\vec{x}=5
[/mm]
anschließend wurde durch die wurzel geteilt
>
> ich hab jetzt gelernt, dass man den [mm]|\vec{a}|[/mm] ausrechnen
> muss. das ist ja die strecke von [mm]\vektor{2 \\ 3\\4}[/mm] zu
> (0|0|0).
> die strecke wäre dann [mm]\wurzel{4+9+16},[/mm] also [mm]\wurzel{29}.[/mm]
>
> um den abstand selbst herauszubekommen, muss ich [mm]\vec{a}=1[/mm]
> machen.
> Heißt das, ich muss [mm]\vektor{2 \\ 3\\4}[/mm] zu 1 machen?
>
> dann haben wir aufgeschrieben:
> [mm]\vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\ \bruch{3}{\wurzel{29}}\\\bruch{4}{\wurzel{29}}}\*\vec{x}[/mm]
>
> ist [mm]\vec{x}=\vektor{x \\ y\\z}?[/mm]
ja
>
> dann haben wir weiter aufgeschrieben:
> [mm]\vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\ \bruch{3}{\wurzel{29}} \\ \bruch{4}{\wurzel{29}}} \* \vec{x}=\bruch{5}{\wurzel{29}}[/mm]
>
> wie kommt man von
> [mm]\vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\ \bruch{3}{\wurzel{29}} \\\bruch{4}{\wurzel{29}}}[/mm]
> auf [mm]\bruch{5}{\wurzel{29}}?[/mm]
>
> die 5 ist ja das ergebnis vom skalarprodukt, aber ich sehe
> den zusammenhang nicht...
> könnt ihr mir das erklären?
>
> gruß, susi
>
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:33 Mi 30.03.2011 | | Autor: | susi111 |
kann mir jemand meine fragen bitte genauer beantworten? ich wusste jetzt nicht viel mehr, was ich schon vorher wusste...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mi 30.03.2011 | | Autor: | susi111 |
wie kommt man von
$ [mm] \vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\ \bruch{3}{\wurzel{29}} \\\bruch{4}{\wurzel{29}}} [/mm] $ auf $ [mm] \bruch{5}{\wurzel{29}}? [/mm] $
und wieso braucht man überhaupt diesen teil [mm] \vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\ \bruch{3}{\wurzel{29}} \\\bruch{4}{\wurzel{29}}}, [/mm]
wenn es reicht den teil [mm] \bruch{5}{\wurzel{29}} [/mm] auszurechnen, um den abstand herauszubekommen?
was bedeutet überhaupt [mm] \vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\ \bruch{3}{\wurzel{29}} \\\bruch{4}{\wurzel{29}}}?
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:25 Do 31.03.2011 | | Autor: | lexjou |
Hallo,
> wie kommt man von
> [mm]\vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\
\bruch{3}{\wurzel{29}} \\
\bruch{4}{\wurzel{29}}}[/mm]
> auf [mm]\bruch{5}{\wurzel{29}}?[/mm]
Indem Du Deinen Punkt P in Deine Gleichung, die Du von ullim bekommen hast, einsetzt!
[mm]|\lambda|=\bruch{\left|p^T\cdot{}n-P^T\cdot{}n\right|}{|n|}[/mm]
[mm]p^T\cdot{}n=5[/mm]
Das hattest Du ja in Deiner Koordinatenform gegeben!
Den Vektor n hast Du auch!
Im Nenner steht [mm]\wurzel{29}[/mm] weil das der Betrag - also die Länge - Deines Vektors [mm]n=\vektor{2 \\
3 \\
4}[/mm] das ergibt! Im Zähler steht die 5, da [mm]p^T*n=5[/mm] und für das [mm]P^T*n[/mm] setzt Du Deinen Punkt [mm]P=\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm] ein und das ergibt ja bekanntlich 0! Also hast Du die verbleibende 5 im Zähler und im Nenner den Betrag!
>
> und wieso braucht man überhaupt diesen teil
> [mm]\vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\
\bruch{3}{\wurzel{29}} \\
\bruch{4}{\wurzel{29}}},[/mm]
> wenn es reicht den teil [mm]\bruch{5}{\wurzel{29}}[/mm]
> auszurechnen, um den abstand herauszubekommen?
Wenn Du mit Schnittpunkten von Geraden und Ebenen rechnest dann kommt es nun mal vor, dass Du Deine Vektoren normieren musst ;)
> was bedeutet überhaupt [mm]\vektor{\bruch{2}{\wurzel{29}} \\
\bruch{3}{\wurzel{29}} \\
\bruch{4}{\wurzel{29}}}?[/mm]
Das ist der normierte Vektor n, der die Länge 1 hat!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mi 30.03.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
Du hast eine Ebene E gegeben durch die Gleichung
E: [mm] (x-p)^T{n}=0 [/mm] also [mm] x^Tn=p^T{n} [/mm] wobei bei Dir [mm] n=\vektor{2 \\ 3 \\ 4 } [/mm] ist und [mm] p^T{n}=5
[/mm]
Sei P ein beliebiger Punkt [mm] \in\IR^3 [/mm] dann ist der Abstand des Punktes P zur Ebene dadurch bestimmt, das man die Gerade [mm] P+\lambda*\bruch{n}{|n|} [/mm] mit der Ebene schneidet. [mm] |\lambda| [/mm] gibt den Abstand des Punktes zur Ebene an.
D.h. also das gelten muss
[mm] \left(P+\lambda*\bruch{n}{|n|}\right)^Tn=p^Tn [/mm] also folgt
[mm] |\lambda|=\bruch{\left|p^T*n-P^T*n\right|}{|n|} [/mm] ist der Abstand des Punktes P zur Ebene. Setzt man [mm] P=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 } [/mm] folgt
[mm] |\lambda|=\left|p^T\cdot\bruch{n}{|n|}\right|
[/mm]
In Deinem Fall also [mm] |\lambda|=\bruch{5}{\wurzel{29}}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Sa 02.04.2011 | | Autor: | susi111 |
> Hi,
>
> Du hast eine Ebene E gegeben durch die Gleichung
>
> E: [mm](x-p)^T{n}=0[/mm] also [mm]x^Tn=p^T{n}[/mm] wobei bei Dir [mm]n=\vektor{2 \\ 3 \\ 4 }[/mm]
> ist und [mm]p^T{n}=5[/mm]
wie kommt man auf die gleichung [mm] (x-p)^T{n}=0?
[/mm]
was ist x^Tn und was ist [mm] p^T{n}?
[/mm]
ich weiß nur, dass die normalenform einer ebene die hier ist: [mm] \vec{x}=\vec{n}\*\vec{x}, [/mm] wobei [mm] \vec{n} [/mm] der normalenvektor ist und [mm] \vec{x} [/mm] irgendein punkt der ebene.
>
> Sei P ein beliebiger Punkt [mm]\in\IR^3[/mm] dann ist der Abstand
> des Punktes P zur Ebene dadurch bestimmt, das man die
> Gerade [mm]P+\lambda*\bruch{n}{|n|}[/mm] mit der Ebene schneidet.
> [mm]|\lambda|[/mm] gibt den Abstand des Punktes zur Ebene an.
>
wie kommt man auf die gleichung?
> D.h. also das gelten muss
>
> [mm]\left(P+\lambda*\bruch{n}{|n|}\right)^Tn=p^Tn[/mm] also folgt
>
> [mm]|\lambda|=\bruch{\left|p^T*n-P^T*n\right|}{|n|}[/mm] ist der
> Abstand des Punktes P zur Ebene. Setzt man [mm]P=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
wieso genau vektor (0|0|0)? was macht man dann überhaupt mit vektor (2|3|4)?
> folgt
>
> [mm]|\lambda|=\left|p^T\cdot\bruch{n}{|n|}\right|[/mm]
>
> In Deinem Fall also [mm]|\lambda|=\bruch{5}{\wurzel{29}}[/mm]
>
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Hallo susi111,
> > Hi,
> >
> > Du hast eine Ebene E gegeben durch die Gleichung
> >
> > E: [mm](x-p)^T{n}=0[/mm] also [mm]x^Tn=p^T{n}[/mm] wobei bei Dir [mm]n=\vektor{2 \\ 3 \\ 4 }[/mm]
> > ist und [mm]p^T{n}=5[/mm]
>
> wie kommt man auf die gleichung [mm](x-p)^T{n}=0?[/mm]
> was ist x^Tn und was ist [mm]p^T{n}?[/mm]
Siehe hier: Normalenform
>
> ich weiß nur, dass die normalenform einer ebene die hier
> ist: [mm]\vec{x}=\vec{n}\*\vec{x},[/mm] wobei [mm]\vec{n}[/mm] der
> normalenvektor ist und [mm]\vec{x}[/mm] irgendein punkt der ebene.
>
>
> >
> > Sei P ein beliebiger Punkt [mm]\in\IR^3[/mm] dann ist der Abstand
> > des Punktes P zur Ebene dadurch bestimmt, das man die
> > Gerade [mm]P+\lambda*\bruch{n}{|n|}[/mm] mit der Ebene schneidet.
> > [mm]|\lambda|[/mm] gibt den Abstand des Punktes zur Ebene an.
> >
> wie kommt man auf die gleichung?
Durch das Lot eines Punktes P auf die Ebene E wird der
kürzeste Abstand definert-
Da [mm]\bruch{1}{\vmat{\vec{n}}}\vec{n}[/mm] ein Normalenvektor
der Ebene E ist, ist der Schnittpunkt der Geraden
[mm]g:\vec{x}=\overrightarrow{OP}+\lambda*\bruch{1}{\vmat{\vec{n}}}\vec{n}[/mm]
mit der Ebene E gesucht.
Die Differenz dieser zwei Punkte ergibt dann den Abstandsvektor
[mm]\overrightarrow{OP}-\left(\overrightarrow{OP}+\lambda*\bruch{1}{\vmat{\vec{n}}}\vec{n}\right)=-\lambda*\bruch{1}{\vmat{\vec{n}}}\vec{n}[/mm]
Der Betrag hiervon ergibt den Abstand:
[mm]\vmat{-\lambda*\bruch{1}{\vmat{\vec{n}}}\vec{n}}=\vmat{\lambda*\bruch{1}{\vmat{\vec{n}}}\vec{n}}=\vmat{\lambda}*\vmat{\bruch{1}{\vmat{\vec{n}}}\vec{n}}[/mm]
Und da [mm]\vmat{\bruch{1}{\vmat{\vec{n}}}\vec{n}}=1[/mm]
ergibt sich schliesslich: [mm]\vmat{\lambda}[/mm]
>
> > D.h. also das gelten muss
> >
> > [mm]\left(P+\lambda*\bruch{n}{|n|}\right)^Tn=p^Tn[/mm] also folgt
> >
> > [mm]|\lambda|=\bruch{\left|p^T*n-P^T*n\right|}{|n|}[/mm] ist der
> > Abstand des Punktes P zur Ebene. Setzt man [mm]P=\vektor{0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> wieso genau vektor (0|0|0)? was macht man dann überhaupt
> mit vektor (2|3|4)?
Der Vektor [mm]\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] ist der Ortsvektor zum Ursprung des [mm]\IR^{3}[/mm].
Das ist derjenige Punkt, dessen Abstand zur Ebene E gesucht ist.
Der Vektor [mm]\pmat{2 \\3 \\ 4}[/mm] ist der Normalenvektor der Ebene,
ist also für [mm]\vec{n}[/mm] einzusetzen.
>
> > folgt
> >
> > [mm]|\lambda|=\left|p^T\cdot\bruch{n}{|n|}\right|[/mm]
> >
> > In Deinem Fall also [mm]|\lambda|=\bruch{5}{\wurzel{29}}[/mm]
> >
>
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Sa 02.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] \vektor{2 \\ 3\\4}*\vektor{x \\ y\\z}=5 [/mm] $
Kürzer: [mm] $\vec [/mm] a [mm] \cdot \vec [/mm] x = 5$
Richtig. Jetzt kannst Du, weil's ne Gleichung ist, beide Seiten durch [mm] $\sqrt{29}$ [/mm] teilen, ohne die Lösungsmenge zu verändern.
Soll heißen, die gleichen Punkte [mm] $\vektor{x \\ y\\z}$, [/mm] die die obige Gleichung erfüllen, erfüllen auch
$ [mm] \frac1{\sqrt{29}}\vec [/mm] a [mm] \cdot \vec [/mm] x [mm] =\frac1{\sqrt{29}}\vektor{2 \\ 3\\4}*\vektor{x \\ y\\z}=\frac 5{\sqrt{29}} [/mm] $
mit anderen Worten: Beides ist die gleiche Ebene.
Warum tut man das?
Das Skalarprodukt ist
[mm] $\vec [/mm] a [mm] \cdot \vec [/mm] x = [mm] |\vec a|\, |\vec x|\,\cos\sphericalangle(\vec [/mm] a, [mm] \vec [/mm] x)$
Jetzt haben wir durch [mm] $|\vec a|=\sqrt{29}$ [/mm] geteilt, also steht da:
[mm] $\frac 1{|\vec a|}\vec [/mm] a [mm] \cdot \vec [/mm] x = [mm] |\vec x|\,\cos\sphericalangle(\vec [/mm] a, [mm] \vec x)=\frac{5}{|\vec a|}$
[/mm]
Und [mm] $|\vec x|\,\cos\sphericalangle(\vec [/mm] a, [mm] \vec [/mm] x)$ ist die Länge der senkrechten Projektion von [mm] $\vec [/mm] x$ auf [mm] $\vec [/mm] a$.
Siehe das Bild
[Dateianhang nicht öffentlich].
[mm] $\vec [/mm] a [mm] \cdot \vec [/mm] x = [mm] |\vec a|\, \left(|\vec x|\cos(\alpha) \right)$
[/mm]
Und [mm] $\left(|\vec x|\cos(\alpha) \right)$ [/mm] ist genau der Abstand von der Ebene zum Ursprung.
Das gilt unabhängig vom [mm] $\vec [/mm] x$, das wir wählen; mit [mm] $\vec x_2$ [/mm] funktioniert es genauso, schließlich gilt [mm] $\vec [/mm] a [mm] \cdot \vec [/mm] x = [mm] \vec [/mm] a [mm] \cdot \vec x_2$.
[/mm]
ciao
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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