abzählbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:54 Di 13.12.2005 | | Autor: | bjarne |
| Aufgabe | | Sei A [mm] \subset \IR^+. [/mm] Ferner gebe es eine Zahl C > 0, so dass [mm] \summe_{a \in E}a \le [/mm] C ist für jede endliche Teilmenge E von A.Zeigen Sie, dass A abzählbar ist. |
Hallo zusammen.
Meine Frage lautet: Wie muss ich vorgehen, um diese Aufgabe zu lösen? Wer kann mir dabei helfen (umso mehr,umso besser  ).
Lieben Gruß
bjarne
Abzählbar bedeutet ja, dass A endlich sein muss... Aber ich finde in der Aufgabenstellung keinen klaren Ansatzpunkt für mich bzw. für weitere Schritte.
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Hallo Bjarne,
Ich kann Dir zwar keine komplette Lösung liefern, aber zumindest ein kleiner Hinweis:
Nicht jede abzählbare Menge ist endlich! Denke nur an die Menge der natürlichen Zahlen, diese sind abzählbar, aber unendlich.
Ein Satz, der mir aus meinen Vorlesungen eingefallen ist, und der Dir vielleicht weiterhelfen könnte, ist allerdings, das die Vereinigung abzählbarer Mengen abzählbar ist... Vielleicht kannst Du damit weiter?
Liebe grüße,
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 13.12.2005 | | Autor: | SEcki |
> Sei A [mm]\subset \IR^+.[/mm] Ferner gebe es eine Zahl C > 0, so
> dass [mm]\summe_{a \in E}a \le[/mm] C ist für jede endliche
> Teilmenge E von A.Zeigen Sie, dass A abzählbar ist.
> Hallo zusammen.
> Meine Frage lautet: Wie muss ich vorgehen, um diese
> Aufgabe zu lösen? Wer kann mir dabei helfen (umso mehr,umso
> besser ).
Betrachte mal die Mengen [m]A_n := \{a\in A| a>\frac{1}{n}\}[/m]. Was ist die Mächtigkeit dieser? Was ist die Mächtigkeit der Vereinigung? Was ist diese Vereinigung aber noch?
SEcki
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