abzählbar viele offene mengen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass zu jeder abgeschlossenen Menge A [mm] \subset [/mm] X abzählbar viele offene Mengen Un [mm] \subset [/mm] X (n [mm] \in [/mm] N) existieren, so dass A = [mm] \bigcap_{n \in N}^{} [/mm] Un gilt. |
Hallo,
ich habe diese Aufgabe gelöst, bin aber nicht sicher, ob sie so funktioniert. Vielleicht kann jemand von euch mal drüber schauen. Hier also meine Lösung:
A [mm] \subset [/mm] X ist abgeschlossen.
Un := [mm] \bigcup_{n \in N}^{}B [/mm] 1/n (a) diese Vereinigung ist offen, da die Vereinigung von offenen Mengen wieder offen ist.
B 1/n (a) = {x [mm] \in [/mm] X mit d(x,a) < 1/n }
Sei x [mm] \in \bigcap_{n \in N}^{}Un [/mm] --> Für alle n [mm] \in [/mm] N gibt es ein an [mm] \in [/mm] A mit x [mm] \in \bigcup_{n \in N}^{}B [/mm] 1/n (a) , also mit d(x,an) < 1/n.
Daraus folgt aber an konvergiert gegen x. Da A aber abgeschlossen ist, muss gelten : x [mm] \in [/mm] A.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:12 Sa 02.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei (X,d) ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass zu jeder
> abgeschlossenen Menge A [mm]\subset[/mm] X abzählbar viele offene
> Mengen Un [mm]\subset[/mm] X (n [mm]\in[/mm] N) existieren, so dass A =
> [mm]\bigcap_{n \in N}^{}[/mm] Un gilt.
>
> Hallo,
> ich habe diese Aufgabe gelöst, bin aber nicht sicher, ob
> sie so funktioniert. Vielleicht kann jemand von euch mal
> drüber schauen. Hier also meine Lösung:
> A [mm]\subset[/mm] X ist abgeschlossen.
> Un := [mm]\bigcup_{n \in N}^{}B[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1/n (a) diese Vereinigung ist
> offen, da die Vereinigung von offenen Mengen wieder offen
> ist.
Genau.
> B 1/n (a) = {x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X mit d(x,a) < 1/n }
> Sei x [mm]\in \bigcap_{n \in N}^{}Un[/mm] --> Für alle n [mm]\in[/mm] N gibt
> es ein an [mm]\in[/mm] A mit x [mm]\in \bigcup_{n \in N}^{}B[/mm] 1/n (a) ,
Das [mm] $\bigcup_{n \in \IN}$ [/mm] soll da nicht stehen, oder? Wenn es da steht macht das nicht wirklich Sinn...
> also mit d(x,an) < 1/n.
Genau.
> Daraus folgt aber an konvergiert gegen x. Da A aber
> abgeschlossen ist, muss gelten : x [mm]\in[/mm] A.
Genau.
LG Felix
|
|
|
|
