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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Mi 19.04.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | | zwei 3x3 Matrizen sind ähnlich zueinander genau dann, wenn sie gleiches charakteristisches Polynom und gleiches Minimalpolynom haben. |
Hallo zusammen!
Ich soll diese Tatsache oben beweisen. Leider fehlt mir dazu der konkrete Ansatz.
Wäre es möglich, den Satz über die RNF zu benutzen (Über k ist genau eine Matrix A [mm] \in k^{nxn} [/mm] zu einer RNF ähnlich)? Nur wie bringe ich das dann mit dem charakteristischen und Minimalpolynom ins Spiel? Bei ner RNF ist doch das Minimalpolynom das Polynom aus der ersten BLockmatrix auf der Hauptdiagonalen, also [mm] P_{1}, [/mm] oder? Das charakteristische Polynom ist doch dann [mm] \produkt_{i=1}^{r}P_{i}, [/mm] also das Produkt der Polynome auf der Hauptdiagonalen? Wie bringe ich das jetzt in Verbindung mit der Ähnlichkeit?? Über Denkanstöße wäre ich wie immer dankbar 
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Nehme wir die beiden Matrizen $A,B$, dann kann man aus der Ähnlichkeit schließen, dass es eine reguläre Matrix X gibt mit:
$B = [mm] X^{-1}AX$
[/mm]
Die charakteristischen Polynome sind wohl gleich, wenn wir zeigen können, dass
[mm] $det(B-\lambda [/mm] E) = [mm] det(A-\lambda [/mm] E).$
Also einfach anfangen einzusetzen, für die Einheitsmatrix gilt $E = [mm] X^{-1}X$
[/mm]
[mm] $det(B-\lambda [/mm] E) = det(B = [mm] X^{-1}AX [/mm] - [mm] \lambda X^{-1}X) [/mm] = [mm] det(X^{-1}(A-\lambda [/mm] E)X)$
Determinanten darf man auseinanderziehen, also:
$ = [mm] det(X^{-1})\cdot det(A-\lambda [/mm] E) [mm] \cdot [/mm] det(X) = [mm] det(A-\lambda [/mm] E)$
Damit haben die beiden auf jeden Fall dasselbe charakteristische Polynom.
Gruß
Alice
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Hallo!
Am einfachsten ist dieser Aufgabe wohl beizukommen, indem du eine Fallunterscheidung machst.
Angenommen, $A$ hat paarweise verschiedene Eigenwerte [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$. [/mm] Dann gilt für char. und Minimalpolynom:
[mm] $\chi_A(\lambda)=m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)*(\lambda-\lambda_2)*(\lambda-\lambda_3)$.
[/mm]
Insbesondere ist $A$ diagonalisierbar, also ähnlich zu [mm] $\pmat{\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3}$.
[/mm]
Also ist $A$ zu $B$ ähnlich genau dann, wenn auch $B$ ähnlich zu [mm] $\pmat{\lambda_1&0&0\\0&\lambda_2&0\\ 0&0&\lambda_3}$ [/mm] ist. Das ist genau dann der Fall, wenn [mm] $\chi_B(\lambda)=m_B(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)*(\lambda-\lambda_2)*(\lambda-\lambda_3)$.
[/mm]
Angenommen, $A$ hat nur zwei verschiedene Eigenwerte [mm] $\lambda_1$, $\lambda_2$, [/mm] wobei [mm] $\lambda_1$ [/mm] die algebraische Vielfachheit 2 hat. Dann ist [mm] $\chi_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^2*(\lambda-\lambda_2)$. [/mm] Für das Minimalpolynom gibt es zwei Möglichkeiten:
[mm] $m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^2*(\lambda-\lambda_2)$ [/mm] oder [mm] $m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)*(\lambda-\lambda_2)$.
[/mm]
Im ersten Fall ist $A$ ähnlich zu [mm] $\pmat{\lambda_1&1&0\\0&\lambda_1&0\\0&0&\lambda_2}$, [/mm] im zweiten zu [mm] $\pmat{\lambda_1&0&0\\0&\lambda_1&0\\0&0&\lambda_2}$.
[/mm]
Jetzt kannst du wieder folgern, dass $A$ und $B$ genau dann ähnlich sind, wenn [mm] $\chi_A=\chi_B$ [/mm] und [mm] $m_A=m_B$.
[/mm]
Für den Fall, dass $A$ nur einen Eigenwert hat kannst du analog vorgehen.
Was ist der Trick bei dieser Aufgabe, und warum ist das Ergebnis nur richtig für [mm] $3\times [/mm] 3$-, [mm] $2\times [/mm] 2$- und [mm] $1\times [/mm] 1$-Matrizen?
Das liegt daran, dass die Jordannormalform von $A$ in diesem Fällen bereits durch [mm] $\chi_A$ [/mm] und [mm] $m_A$ [/mm] bestimmt ist. Im obigen Beweis haben wir das ja auch ganz entscheidend benutzt.
Schon für $n=4$ gilt aber: Wenn $A$ nur einen Eigenwert [mm] $\lambda_1$ [/mm] hat und das Minimalpolynom [mm] $m_A(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^2$, [/mm] dann kann die Jordannormalform von der Gestalt
[mm]\pmat{\lambda_1&1&0&0\\
0&\lambda_1&0&0\\0&0&\lambda_1&1\\0&0&0&\lambda_1}[/mm] oder [mm] $\pmat{\lambda_1&1&0&0\\0&\lambda_1&0&0\\0&0&\lambda_1&0\\0&0&0&\lambda_1}$
[/mm]
sein. Diese beiden Matrizen sind nicht zueinander ähnlich!
Gruß, banachella
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