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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 09.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Wie viele Klassen von ähnlichen Matrizen gibt es in [mm] M_2(\IF_3)? [/mm] Geben Sie jeweils einen Vertreter an.
Das heißt: Geben Sie eine Menge M von Matrizen in [mm] M_2(\IF_3) [/mm] an, so dass jedes Element von [mm] M_2(\IF_3)zu [/mm] genau einem Element von M ähnlich ist. |
Was ist eine Ähnlichkeitsklasse? und wie finde ich sie?
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Hallo Zerwas,
du hast hoffentlich schon gelernt, dass man zwei Matrizen A und B ähnlich nennt, wenn es eine invertierbare Matrix T gibt, so dass
[mm]B=T^{-1}AT.[/mm]
In deinem Fall müssen die Matrizen aus [mm]M_2(\IF_3)[/mm] sein. Das heißt, wenn ich es richtig verstehe, dass sie 2x2-Matrizen mit Einträgen aus [mm] \IF_3 [/mm] sind.
Da die Ähnlichkeit von Matrizen eine Äquivalenzrelation ist, also symmetrisch, reflexiv und transitiv, kann man durch sie Äquivalenzklassen definieren.
Deine Aufgabe ist es nun, aus jeder solchen Äquivalenzklasse bezüglich der Ähnlichkeit von Matrizen, hier Ähnlichkeitsklasse genannt, einen Repräsentanten anzugeben.
Wichtig ist mal zu wissen, wie viele Matrizen es überhaupt in [mm]M_2(\IF_3)[/mm] gibt,
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 Di 10.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay ... vielen dank erstmal ... [mm] \IF_3:={[0],[1],[2]} [/mm] besitzt also nur die drei Elemente 0,1,2 ... d.h. [mm] \exists 3^4 [/mm] 2x2 Matritzen also 81 Stück.
Ich nehme mir dann z.b die matrix [mm] \pmat{0 & 0\\ 0 &0} [/mm] und suche alle Matritzen aus [mm] M_2(\IF_3) [/mm] die zu dieser ähnlich sind. Das wären alle Matritzen die den 2x den EW 0 haben. Richtig?
Das wäre der Fall für alle Matritzen für die gilt: [mm] a_{11}*a_{22}=a_{12}*a_{21}
[/mm]
Dann mache ich das für alle die die EW 1 und 0 haben dann für die EW 0 und 2 dann für 2 mal 1 dann für 1 und 2 dann für 2 mal 2
Dann hätte ich also [mm] M:=(\pmat{0 & 0\\ 0 &0}, \pmat{0 & 0\\0 &1}, \pmat{0 & 0\\ 0 &2}, \pmat{1 & 0\\ 0 &1}, \pmat{1 & 0\\ 0 &2}, \pmat{2 & 0\\ 0 &2})
[/mm]
Stimmt das dann so?
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Hallo Zerwas,
das ist doch schon eine sehr gute Idee mit den Eigenwerten.
Es gibt einen Fehler: wenn [mm] a_{11}a_{22}=a_{12}a_{21} [/mm] ist, dann ist die Determinante Null und es gibt mindestens einen Eigenwert, der Null ist, aber nicht zwangsweise zwei.
Deine Liste von Ähnlichkeitsklassen ist (möglicherweise) noch nicht vollständig. Es gibt ja auch Matrizen, die nicht diagonalisierbar sind. Naja, ich muss ehrlich sagen, dass ich nicht weiß, ob im Matrizenraum, den du untersuchen sollst, vielleicht doch alle Matrizen ähnlich zu einer Diagonalmatrix sind. Aber wenn das nicht so ist, dann musst du alle möglichen Jordan-Normal-Formen betrachten.
Bei den Matrizen mit doppelten Eigenwerten kann es also passieren, dass rechts oben noch ein Einser stehen bleibt 
Also prüfe mal die drei in Frage kommenden Fälle. Sind sie diagonalisierbar oder stellen sie neue Ähnlichkeitsklassen dar. Ich denke, dass du abgesehen davon schon alles aufgeschrieben und auch richtig begründet hast.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mi 11.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Stimmt daran habe ich noch nicht gedacht ... schaun wir mal:
Damit eine Matrix diagonalisierbar ist müssen die algebraische Vielfalt und die geometrische übereinstimmen:
Also für [mm] \pmat{0 & 1 \\ 0 & 0} [/mm] gilt:
EW: [mm] \lambda_{1,2}=0
[/mm]
EV: [mm] \Exists [/mm] nur ein EV [mm] \pmat{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Matrix [mm] \pmat{0 & 1 \\ 0 & 0} [/mm] bildet eine neue Ähnlichkeitsklasse
Für [mm] \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1} [/mm] gilt:
EW: [mm] \lambda_{1,2}=1
[/mm]
EV: [mm] \Exists [/mm] nur ein EV [mm] \pmat{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Matrix [mm] \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1} [/mm] bildet eine neue Ähnlichkeitsklasse
Für [mm] \pmat{2 & 1 \\ 0 & 2} [/mm] gilt:
EW: [mm] \lambda_{1,2}=2
[/mm]
EV: [mm] \Exists [/mm] nur ein EV [mm] \pmat{1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] die Matrix [mm] \pmat{2 & 1 \\ 0 & 2} [/mm] bildet eine neue Ähnlichkeitsklasse
Also muss ich M um die oben genannten Matrizen ergänzen und erhalte dann: [mm] M:=(\pmat{0 & 0\\ 0 &0}, \pmat{0 & 0\\0 &1}, \pmat{0 & 0\\ 0 &2}, \pmat{1 & 0\\ 0 &1}, \pmat{1 & 0\\ 0 &2}, \pmat{2 & 0\\ 0 &2}, \pmat{0 & 1 \\ 0 & 0}, \pmat{1 & 1 \\ 0 & 1}, \pmat{2 & 1 \\ 0 & 2}) [/mm]
Allerdings habe ich heute noch einen neuen Ansatz mitbekommen ... und zwar lässt sich das Charakteristische Polynom einer 2x2 MAtrix derart darstellen: [mm] x^2+ax+c [/mm] a und c können jetzt jeweils 3 werte annehmen also 3*3=9 verschiedenen möglichkeiten. dann hieß es aber, dass die "doppelten" 2-mal genommen werden müssten, so dass mal letztlich 12 Klassen hat. Letzteres verstehe ich jedoch nicht ... ist doch eigentlich alles schon über die 9 Klassen die ich oben auch habe jah abgedeckt. oder nicht???
Gruß Zerwas
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Hallo Zerwas,
die Argumentation mit dem charakteristischen Polynom ist berechtigt.
Alle Matrizen in einer Aehnlichkeitsklasse haben das gleich char. Polynom. Also gibt es mindestens so viele Klassen wie Polynome.
Ich weiss nicht, was wir vergessen haben koennten. Ist sicher, dass alle neun Polynomarten auftreten?
Hugo
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Also es gibt natürlich jedes char. Polynom. Man hat ja ausreichend Möglichkeiten, die vier Koeffizienten in der Matrix zu variieren.
Aber meine Lösung mit der Jordan-Normal-Form kann nicht richtig sein, weil man für die JNF die Voraussetzung braucht, dass das char. Polynom in Linearfaktoren zerfällt, Über [mm] \IF_3 [/mm] gibt es jedoch auch irreduzible Polynome vom Grad 2 und zwar drei Stück.
Man muss also die Frobenius-Normalform der Matrizen bemühen.
Im Vorlesungsskript ![[]](/images/popup.gif) http://www-users.rwth-aachen.de/Thomas.Beckers/studium/la2.pdf auf Seite 70 steht, wie die 12 Ähnlichkeitsklassen entstehen.
Hugo
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