Änderung zum Zeitpunkt x < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ein Stausee ändert seine Wassermenge. Zunächst wird er mit Wasser gefüllt. Die Zulaufratenfunktion ist gegeben durch [mm]z(x)=(x²-10x+24)e^{\bruch{1}{2}x}[/mm]. Der Graph von z ist rechts abgebildet.
Dabei wird x in Tagen und z(x) in tausend Kubikmeter pro Tag angegeben.
Betrachet wird das Intervall [0;6;5], d.h.: [mm]0\le X \le6,5[/mm].
Aufgabe 3: Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maximal ist.
Aufgabe 4: Bestimmen sie den Zeitpunkt, zu dem sich die Zulaufrate am stärksten ändert.
Aufgabe 5: Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu dem sich im Becken wieder die Anfangswassermenge befindet. Die Begründung soll ohne Rechnung erfolgen.
Aufgabe 6: In dem Stausee hat sich eine bestimmte Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunkt x = 0 befinden sich bereits 5000 Bakterien im Stausee. Die Wachstumsratenfunktion der Bakterien ist gegeben durch [mm]w(x)=x^3-12x^2+35x[/mm]. Dabei wird x wieder in Tagen angegeben und w(x) in 10.000 Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die Anzahl der Bakterien nach 3 Tagen.
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Hallo Leute,
Die oben gestellte Aufgabe soll mir helfen bei meiner Vorbereitung zur Abi-Nachprüfung in Mathe. Hab nämlich ne 5- bekommen. Ziemlich bitter.
Aufjedenfall muss noch einiges gut gemacht werden.
Muss aber nur ne 4 kriegen um mein Abi zu kriegen.
Nun zu den Aufgaben:
Aufgabe 3, sagt mir nix. Also ehrlich gesagt weiss ich nicht was ich da tun soll. Man könnte vielleicht sagen das dort die Wendestelle ist, und ein VZW stattfindet. Was wird genau gewollt?
Aufgabe 4, will glaube ich die Extremstelle herausfinden. Bin mir aber nicht sicher ob ich die Extremstellen der normalen Funktion ODER der 1. Ableitung rausfinden soll.
Aufgabe 5, also ich hab hier den Graphen und sehe das der Anteil des Zulaufs größer ist als der des Ablaufs. Aufjedenfall dürfte es meiner Meinung nach nicht zur Anfangswassermenge kommen.
Aufgabe 6, müsste das Ergebnis 245000 sein.
Hoffe ihr könnt mir helfen.
Blackpearl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Di 09.06.2009 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Blackpearl,
> Ein Stausee ändert seine Wassermenge. Zunächst wird er mit
> Wasser gefüllt. Die Zulaufratenfunktion ist gegeben durch
> [mm]z(x)=(x²-10x+24)e^{\bruch{1}{2}x}[/mm]. Der Graph von z ist
> rechts abgebildet.
>
> Dabei wird x in Tagen und z(x) in tausend Kubikmeter pro
> Tag angegeben.
> Betrachet wird das Intervall [0;6;5], d.h.: [mm]0\le X \le6,5[/mm].
> Zulaufs Zulaufs
>
> Aufgabe 3: Ermitteln Sie, zu welchem Zeitpunkt die
> Zulaufrate im betrachteten Intervall maximal ist.
>
> Aufgabe 4: Bestimmen sie den Zeitpunkt, zu dem sich die
> Zulaufrate am stärksten ändert.
>
> Aufgabe 5: Entscheiden Sie, ob es einen Zeitpunkt gibt, zu
> dem sich im Becken wieder die Anfangswassermenge befindet.
> Die Begründung soll ohne Rechnung erfolgen.
>
> Aufgabe 6: In dem Stausee hat sich eine bestimmte
> Bakteriensorte eingelagert. Zum Zeitpunkt x = 0 befinden
> sich bereits 5000 Bakterien im Stausee. Die
> Wachstumsratenfunktion der Bakterien ist gegeben durch
> [mm]w(x)=x^3-12x^2+35x[/mm]. Dabei wird x wieder in Tagen angegeben
> und w(x) in 10.000 Bakterien pro Tag. Ermitteln Sie die
> Anzahl der Bakterien nach 3 Tagen.
>
> Hallo Leute,
>
> Die oben gestellte Aufgabe soll mir helfen bei meiner
> Vorbereitung zur Abi-Nachprüfung in Mathe. Hab nämlich ne
> 5- bekommen. Ziemlich bitter.
>
> Aufjedenfall muss noch einiges gut gemacht werden.
>
> Muss aber nur ne 4 kriegen um mein Abi zu kriegen.
>
> Nun zu den Aufgaben:
>
> Aufgabe 3, sagt mir nix. Also ehrlich gesagt weiss ich
> nicht was ich da tun soll. Man könnte vielleicht sagen das
> dort die Wendestelle ist, und ein VZW stattfindet. Was wird
> genau gewollt?
>
Du hast die Zulauffunktion und sollst den maximalen Zulauf bestimmen. D.h. doch, dass Du das Maximum der Funktion in diesem Intervall bestimmen sollst. Denk auch an die Randwerte.
> Aufgabe 4, will glaube ich die Extremstelle herausfinden.
> Bin mir aber nicht sicher ob ich die Extremstellen der
> normalen Funktion ODER der 1. Ableitung rausfinden soll.
Wenn nach der stärksten Änderung gefragt ist, wird immer ein Wendepunkt gesucht.
>
> Aufgabe 5, also ich hab hier den Graphen und sehe das der
> Anteil des Zulaufs größer ist als der des Ablaufs.
> Aufjedenfall dürfte es meiner Meinung nach nicht zur
> Anfangswassermenge kommen.
Das müsstest Du aber noch genauer ausführen.
>
> Aufgabe 6, müsste das Ergebnis 245000 sein.
Hier rechnest Du zunächst aus, wie viele Bakterien in 3 Tagen dazu kommen (ist Dir klar, welche Rechnung das bedeutet?) und addierst den Anfangswert.
Ich wünsche Dir viel Erfolg bei den Vorbereitungen und bei der Prüfung.
Sigrid
>
> Hoffe ihr könnt mir helfen.
>
>
>
> Blackpearl
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| Aufgabe | | Aufgabe 3, Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung der Wassermenge zum Zeitpunkt x = 5 möglich sind. |
Erstmal danke für deine Hilfe Sigrid.
Das ist die richtige Augabe 3.. hab mich da anscheinend vertippt!
Änderung müsste Steigung bedeuten, das heißt die Änderung müsste negativ sein und das Wasser fließt also ab. Bin mir aber nicht sicher?
Zu Aufgabe 5, weiss ich leider nicht wie ich mehr Argumente finden soll. Mir fällt ganz ehrlich nichts ein. Könntest du da näher drauf eingehen?
Aufgabe 6, habe ich so gelöst das ich einfach 3 in die Funktion eingesetzt habe, 24 rauskam und dann 24 mit 10 multipliziert habe und 5000 addiert.
Gruß Blackpearl
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Hallo!
> Aufgabe 3, Ermitteln Sie, welche Aussagen über die Änderung
> der Wassermenge zum Zeitpunkt x = 5 möglich sind.
> Erstmal danke für deine Hilfe Sigrid.
> Das ist die richtige Augabe 3.. hab mich da anscheinend
> vertippt!
> Änderung müsste Steigung bedeuten, das heißt die Änderung
> müsste negativ sein und das Wasser fließt also ab. Bin mir
> aber nicht sicher?
Du solltest dir vor allem klar machen, was f(x) angibt. f(x) gibt nicht die Wassermenge an, welche nach x Tagen im Stausee angekommen ist, sondern die Zulaufrate in Kubikmetern pro Tag, gewissermaßen die Ableitung der Volumenfunktion.
So ist mit Änderung der Wassermenge zunächst die Funktion f(x) selbst gemeint, und nicht deren Ableitungen. Wir können also sagen, dass zum Zeitpunkt x = 5 die Änderung der Wassermenge f(5) = -12.18 beträgt, d.h. das Wasser fließt, wie du trotzdem letztendlich richtig gelegen hast, ab.
> Zu Aufgabe 5, weiss ich leider nicht wie ich mehr Argumente
> finden soll. Mir fällt ganz ehrlich nichts ein. Könntest du
> da näher drauf eingehen?
Zu Beginn war eine bestimmte Menge Wasser im Stausee. Die Zulaufratenfunktion f(x) gibt die Änderung der Wassermenge an. Am Anfang ist f(x) positiv, d.h. es läuft Wasser in den Stausee hinein. Würde die Funktion f(x) die ganze Zeit nur positiv bleiben, würde stets nur Wasser in den Stausee hineinfließen, und wir müssten die Frage auf jeden Fall mit "nein" beantworten, weil er sicher nicht mehr seine Ausgangswassermenge erreicht.
Doch wir sehen zum Beispiel am Graphen, dass f(x) durchaus auch mal negativ wird, d.h. dass Wasser aus dem Stausee fließt, d.h. theoretisch bestände die Chance, dass er nochmal soviel Wasser wie am Anfang beinhaltet.
Was müssen wir nun untersuchen? Wie ich schon oben erwähnt hatte, ist die Zulaufratenfunktion f(x) so etwas wie die Ableitung der Funktion F(x), welche das Volumen des gesamten Wassers im Stausee angibt.
Die Fläche unter der Funktion f(x) (Integralrechnung!) ist also die Wassermenge, welche hinzukommt bzw. abfließt. Eine Fläche über der x-Achse bedeutet Zulauf, eine Fläche unter der x-Achse Ablauf.
Nun schau dir die Funktion f(x) im Graphen an. Sie schließt zwei Flächen mit der x-Achse ein. Ist die erste, positive Fläche größer als die negative, zweite? Wenn ja, bedeutet dass, dass nicht soviel Wasser abgelaufen ist, wie am Anfang reingelaufen ist, d.h. der Ausgangszustand wurde nicht erreicht.
Dann können wir auch leicht sagen, dass er nie mehr erreicht werden wird, weil ja nach der zweiten Fläche f(x) nur noch größer 0 ist, also nur noch Wasser hinzuläuft.
Wenn du das nicht verstanden haben solltest, so bitte ich dich, konkret zu sagen was du nicht verstehst.
> Aufgabe 6, habe ich so gelöst das ich einfach 3 in die
> Funktion eingesetzt habe, 24 rauskam und dann 24 mit 10
> multipliziert habe und 5000 addiert.
Nein, das ist falsch. Du hast wieder dasselbe Prinzip wie bei 5., nur dass du dieses Mal etwas ausrechnen musst: Die Wachstumsratenfunktion f(x) ist wieder so etwas wie die Ableitung der eigentlichen "Bakterienanzahlfunktion" F(x).
Du könntest zum Beispiel so vorgehen:
Berechne das Integral über die Funktion f(x) von 0 bis 3:
A = [mm] \integral_{0}^{3}{f(x) dx}
[/mm]
A ist dann die Anzahl der Bakterien, welche nach 3 Tagen hinzugekommen sind, wohlgemerkt in 10000!
Nun addierst du deinen Anfangswert von 5000 Bakterien hinzu und erhältst das Endergebnis.
Viele Grüße, Stefan.
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Aufgabe 3, fordert dann also nur das ich den Wert in f(x) einsetze, sehe das die Zahl negativ ist und somit der Zulauf negativ was soviel heißt wie das es kein Zulauf ist sondern Ablauf. Mehr nicht?
Aufgabe 4, habe ich jetzt auch gemacht und habe die 2. Ableitung mit 0 gleichgesetzt also, die notwendige Bedingung eingeführt und mit der hinreichenden gezeigt das die 3. Ableitung ungleich 0 ist und somit eine Wendestelle vorhanden ist bei WS(2/21,75). An dem Punkt ändert sich die Zulaufrate also am stärksten.
Aufgabe 5, brauch ich kein Integral nutzen, aber ich hab es jetzt begriffen das es die Zulauf|RATEN|funktion ist und somit die Flächen das Volumen ergeben. Man kann halt sehen das der Teil über der x-Achse extrem größer ist als der Teil unter der x-Achse was heißt das aufjedenfall nicht der Anfangsfüllstand erreicht werden kann.
Aufgabe 6, habe ich nun mithilfe des Integrals gelöst. Habe [mm]A=\integral_{0}^{3} (x^3-12x^2+35x)\, dx [/mm] integriert und bin auf den Wert 69,75 gekommen den habe ich mit 10.000 multipliziert und 5000 addiert und erhalte am Ende den Wert 702.500 FE.
Nach 3 Tagen sind in dem Stausee somit 702.500 Bakterien. ^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:39 Di 09.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Aufgabe 3, fordert dann also nur das ich den Wert in f(x)
> einsetze, sehe das die Zahl negativ ist und somit der
> Zulauf negativ was soviel heißt wie das es kein Zulauf ist
> sondern Ablauf. Mehr nicht?
Yep
>
> Aufgabe 4, habe ich jetzt auch gemacht und habe die 2.
> Ableitung mit 0 gleichgesetzt also, die notwendige
> Bedingung eingeführt und mit der hinreichenden gezeigt das
> die 3. Ableitung ungleich 0 ist und somit eine Wendestelle
> vorhanden ist bei WS(2/21,75). An dem Punkt ändert sich die
> Zulaufrate also am stärksten.
Auch korrekt (Zumindest der Weg, die Zahlen selber habe ich jetzt nicht kontrolliert)
>
> Aufgabe 5, brauch ich kein Integral nutzen, aber ich hab es
> jetzt begriffen das es die Zulauf|RATEN|funktion ist und
> somit die Flächen das Volumen ergeben. Man kann halt sehen
> das der Teil über der x-Achse extrem größer ist als der
> Teil unter der x-Achse was heißt das aufjedenfall nicht der
> Anfangsfüllstand erreicht werden kann.
Wenn man das so sehen kann, ist das als Begründung ausreichend.
>
> Aufgabe 6, habe ich nun mithilfe des Integrals gelöst. Habe
> [mm]A=\integral_{0}^{3} (x^3-12x^2+35x)\, dx[/mm] integriert und
> bin auf den Wert 69,75 gekommen den habe ich mit 10.000
> multipliziert und 5000 addiert und erhalte am Ende den Wert
> 702.500 FE.
Ein Integral hat keine Einheit, also
[mm] \integral_{0}^{3}x^{3}-12x^2+35xdx=69,75 [/mm] FE
> Nach 3 Tagen sind in dem Stausee somit 702.500 Bakterien.
> ^^
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:14 Di 09.06.2009 | | Autor: | Blackpearl |
Danke Rex. Ich mach Fortschritte.. haett ich ma lieber früher angefangen was zutun.. :)
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| Aufgabe | | Aufgabe 2: Bestimmen Sie, zu welchem Zeitpunkt die Zulaufrate im betrachteten Intervall maximal ist. |
Hab diesen Teil des Zettels vorher nicht gefunden..^^ Wollt noch diese Aufgabe ergänzen.
Also in der Aufgabe wollen sie von mir, dass ich die Extremstellen rausfinde. Also 1. Ableitung = 0 setzen (notwendige Bedingung) und 2. Ableitung muss ungleich 0 sein (hinereichende Bedingung).
Die 1. Ableitung ist angegeben doch wir müssen sie nochmal herleiten. Das habe ich mithilfe der Produktregel undkompliziert gelöst.
Wenn ich dann die 1. Ableitung mit 0 gleichsetzen will lasse ich als 1. die e-Funktion wegfallen, da diese ja nicht 0 werden kann.
Also habe ich:
[mm]\bruch{1}{2}x^2 - 3x + 2 = 0[/mm]
[mm]x^2 - 6x + 4 = 0[/mm] [mm]| pq-Formel (3 \pm \wurzel{5})[/mm]
[mm]x_1 = 8[/mm] und [mm]x_2 = -2[/mm]
und die hinreichende Bedingung:
[mm]
(\bruch{1} {4} (2)^2 - (\bruch {1} {2})2 - 2)*e^{\bruch{1} {2}*(-2)}
[/mm]
Das in der Klammer ergibt nach meinen Berechnungen = 0.
[mm]0*e^{\bruch {1} {2}*(-2)} = 0[/mm]
Also ist die hinereichende Bedingung nicht erfüllt? Und es ist keine Extremstelle vorhanden an der Stelle. Wenn ich den Graphen betrachten scheint mir dies auch logisch aber ich weiss nicht wieso ich auf den Wert 2 gekommen bin.
Blackpearl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Di 09.06.2009 | | Autor: | Blackpearl |
Habs geklärt.. bei der pq-Formel kommt 2,234 und -2,234. Da der negative Wert nicht im Intervall liegt ignorier ich den mal.
Habs eingesetzt in die hinreichende und -5,74 rausbekommen, d.h. an der Stelle ist ein Hochpunkt!
Hab 2,234 in die Funktion eingesetzt und 20,32 als Wert für f(x) bekommen.
Weiterhin habe ich den Rand auf ein absolutes Maximum untersucht.
Ich habe eins gefunden und zwar:
AM bei (6,5/32,24)
Jetzt bin ich mir ziemich sicher das alles stimmt!
Blackpearl
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]"){kind=small}
Da hast Du wohl mal die Wurzel ignoriert.
