Änderungsrate < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Di 11.11.2008 | | Autor: | priyanka |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion
f: [mm] x\mapsto (\bruch{3}{2})^{x}. [/mm]
Zeigen Sie, dass f im Intervall [a; a + 1] die Änderungsrate [mm] \bruch{1}{2}\*f(a) [/mm] besitzt. |
Ich muss die ganze elfte Klasse in Mathe wegen Krankheit für eine Nachprüfung nachholen und habe dafür nur drei Wochen Zeit.
Nun hänge ich bei dieser Aufgabe fest.
Komme ich hier mit Logarithmieren weiter?
Es wäre toll, wenn mir jemand hierbei helfen könnte!
Danke im Voraus, Priyanka!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Priyanka!
(ganz unten noch ein Nachtrag, der nichts mit Deiner Frage zu tun hat)
Mir war gar nicht bewusst, dass der Begriff "Änderungsrate" in Schulbüchern unterwegs ist. Gemeint ist damit doch die erste Ableitung, oder? Vielleicht eine blöde Frage, weil der eine Begriff ja den andern ersetzt, und deswegen "erste Ableitung" möglicherweise bei Euch gar nicht vorkam. Du siehst aber gleich, was ich meine.
Sei also $ [mm] f(x)=(\bruch{3}{2})^{x} [/mm] $
Das lässt sich leicht umformen zu $ [mm] f(x)=(e^{ln{\bruch{3}{2}}})^x=e^{x*ln{\bruch{3}{2}}} [/mm] $
Dann ist $ [mm] f'(x)=ln{\bruch{3}{2}}*e^{x*ln{\bruch{3}{2}}} [/mm] $
Dabei könntest Du noch ersetzen: [mm] ln{\bruch{3}{2}}=ln3-ln2\approx0,405465108...
[/mm]
Nun ist die gestellte Frage (ohne weitere Information zu a), ob in jedem beliebigen Intervall [a,a+1] an irgendeiner Stelle $ f'(x) $ den Wert $ [mm] f'(x)=\bruch{1}{2}f(a) [/mm] $ einnimmt, also für ein [mm] x_0 [/mm] innerhalb des Intervalls $ [mm] a\le x_0\le [/mm] a+1 $ gilt: $ [mm] f'(x_0)=\bruch{1}{2}f(a) [/mm] $
Wie groß ist denn $ f'(x) $ an den beiden Begrenzungen des Intervalls? Oder, anders gefragt, wie groß ist $ f'(a+1) $?
Viel Erfolg!
***
Und hier der Nachtrag. Ich konnte mich nicht zwischen Tamil und Singhale entscheiden, auch wenn das erste wahrscheinlicher schien. Sonst hätte ich statt "hallo" gern [Dateianhang nicht öffentlich] oder [Dateianhang nicht öffentlich] geschrieben. Ich habe Deinen Vornamen vor langer Zeit kennengelernt und mit der Frau, die ihn trug, ein paar Jahre in geographischer Distanz zusammengearbeitet, ich in Deutschland, sie in Sri Lanka. Naja, egal.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:17 Di 11.11.2008 | | Autor: | priyanka |
Danke für die Antwort!
Mein Problem ist jedoch, dass man diese Aufgabe ohne die Ableitung lösen soll - nur mit dem Differenzenquotient. Die Ableitung wird in diesem TeiL des Buches noch gar nicht angewendet! Und ich weiß nicht, wie ich das in diesem Fall lösen soll.
Nachtrag:Weder Tamil noch Singhalelisch in meinem Fall, sondern Hindi!
Also ,,Namaste, ji!"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:44 Di 11.11.2008 | | Autor: | reverend |
Na, dann bleibt Dir nur Loddars Vorschlag. Versuch mal, Dir das bildlich vorzustellen. Du hast einen Anfangswert und einen Schlusswert, sowohl für x als auch für f(x). Der Differenzenquotient sagt Dir jetzt "nur", dass es den gesuchten Punkt im Intervall gibt, sofern - wieder bildlich - der Funktionsgraph hier eine zusammenhängende Line ergibt bzw. die Funktion stetig ist.
***
Ich wusste gar nicht, dass Dein Vorname so weit verbreitet ist. Hindi und Singhale sind ja beide indogermanisch/Aryan, Tamil ist dravidisch.
Na dann: [Dateianhang nicht öffentlich]
Oder eigentlich ja फिर मिलेंगे !
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Di 11.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo priyanka,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Nach meinem Verständnis sollst Du hier folgenden Term berechnen und zusammenfassen:
[mm] $$\bruch{\Delta f}{\Delta x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{f(a+1)-f(a)}{(a+1)-a} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Di 11.11.2008 | | Autor: | reverend |
Loddar hat Recht. So kann man die Aufgabe auch verstehen, und es würde sie viel übersichtlicher machen. Die Deutung, die meiner Antwort zugrundeliegt, ist zwar die spannendere Herausforderung, aber eben vielleicht gar nicht gefragt oder zu "hoch" für den Stoff der 11. Klasse (obwohl...).
Und schließlich liegen sein und mein Weg gar nicht so weit auseinander.
Übrigens musst Du für Loddars Weg sicher sein, dass die Funktion stetig ist (nicht notwendig monoton). Aber das sollte keine Schwierigkeit sein.
***
Wenn Du ein ganzes Jahr nacharbeiten musst, sehen wir Dich in nächster Zeit sicher öfter hier, oder? 
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