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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Do 26.10.2006 | | Autor: | erdoes |
Hallo zusammen,
ich habe folgende Frage:
[x] ist eine Äquivalenzklasse auf einer beliebigen Grundmenge X.
In welcher Situation gilt : [x] = X ?
MfG
erdoes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:32 Do 26.10.2006 | | Autor: | Sashman |
Moin erodes!
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M ist eine Teilmenge [mm] R\subseteq M\times [/mm] M, welche folgende Bedingungen erfüllt:
Reflexivität: Für alle [mm] a\in [/mm] M ist [mm] (a,a)\in [/mm] R .
Symmetrie: Für alle [mm] a,b\in [/mm] M, für die [mm] (a,b)\in [/mm] R gilt, ist auch [mm] (b,a)\in [/mm] R.
Transitivität: Sind [mm] a,b,c\in [/mm] M derart, dass [mm] a\sim [/mm] b und [mm] b\sim [/mm] c gilt, so ist auch [mm] a\sim [/mm] c.
Äquivalenzklassen teilen eine Menge in parweise disjunkte Teilmengen.
Wenn nun [x]=X bzgl einer Äquivalenzrelation [mm] \sim [/mm] dann heiß das nichts anderes als das jedes [mm] x\in [/mm] X äquivatent zu jedem [mm] y\in [/mm] X ist.
Anschaulich als Beispiel:
Sei [mm] X:=\{x | x\in\IZ \text{ gerade}\} [/mm] und [mm] x\sim [/mm] y wenn 2 teilt x+y .
Das gilt offensichtlich für alle [mm] x\in [/mm] X bzgl [mm] \sim [/mm] .
MfG
Sashman
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