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| Aufgabe | | Sei K ein Körper und A,B ∈ [mm] Mat_m(K). [/mm] Wir schreiben A ≈ B, falls es T ∈ GLm(K) mit B = T [mm] ·A·T^t [/mm] gibt. Zeigen Sie, dass ≈ eine Äquivalenzrelation auf [mm] Mat_m(K) [/mm] definiert. |
Hallo,
ich wäre froh, es würde mir jemand sagen, ob das so korrekt ist. Danke!
A ähnlich B
wenn es B = TAT^(-1)
Und T^(-1) = [mm] T^t [/mm]
wenn T [mm] \in O_m(K)
[/mm]
Also: [mm] T^t [/mm] * T = E
Äquivalenzrelation, z.Z.:
1.) Reflexivität
z.Z.: A≈A
Ges.: T [mm] \in [/mm] Glm(K) mit
A = [mm] TAT^t [/mm]
E = T = T^-1 = [mm] T^t [/mm]
daraus folgt: es existiert ein T [mm] \in [/mm] Glm(K)
2.) Symmetrie
z.Z.: A≈B -> B≈A
B = [mm] TAT^t
[/mm]
[mm] T^t [/mm] * BT = [mm] (T^t*T) [/mm] A [mm] (T^t*T)
[/mm]
[mm] T^t [/mm] * BT= A
3.) Transitivität
z.Z.: A≈B, B≈C -> A≈C
B = [mm] TAT^t
[/mm]
C = [mm] SBS^t [/mm]
C = [mm] S(TAT^t)S^t [/mm] = [mm] (ST)A(T^t*S^t) [/mm] = [mm] (ST)A(ST)^t [/mm] = [mm] MAM^t
[/mm]
-> Es existiert eine Matrix M [mm] \in [/mm] Glm(K) mit C = [mm] MAM^t
[/mm]
-> A≈C
Danke !!
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Alles korrekt.
Bei 2. könntest du evtl. noch anfügen: "Weil [mm] T^t [/mm] T=E".
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Di 09.05.2017 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
> Bei 2. könntest du evtl. noch anfügen: "Weil [mm]T^t[/mm] T=E".
Genau das benutzt mariella22. Aber warum sollte das gelten? Wir wissen nur, dass T invertierbar ist.
Bei 2. muss man also anders argumentieren:
Wenn [mm] $B=TAT^t$ [/mm] für eine invertierbare Matrix T gilt, ist auch [mm] $T^t$ [/mm] invertierbar und es folgt [mm] $T^{-1}B(T^t)^{-1}=A$.
[/mm]
Nun kann man damit argumentieren, dass [mm] $T^{-1}$ [/mm] invertierbar ist und [mm] $(T^t)^{-1}=(T^{-1})^t$ [/mm] gilt (wegen [mm] $T^t*(T^{-1})^t=(T^{-1}*T)^t=E^t=E$).
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 Di 09.05.2017 | | Autor: | mariella22 |
Vielen Dank für euere Hilfe!
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