Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 So 02.07.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | Auf Hom(V,W) führen wir eine Relation ein:
[mm] \partial [/mm] R [mm] \delta [/mm] : [mm] \gdw [/mm] es gibt Isomorphismen f: V [mm] \to [/mm] V, g: W [mm] \to [/mm] W mit
[mm] g\circ \partial= \delta \circ [/mm] f
Zeigen Sie, dass R eine Äquivalenzrelation ist. |
hallöchen,
also bei dieser Aufgabe, um zu zeigen, dass R eine Äquivalenzrelation ist, muss ich doch die Identität, symmetrie und die Transitivität zeigen, nicht wahr?
und zwar erstens soll ich überprüfen, dass 1. für alle x [mm] \inX: [/mm] xRx
2.für alle x,y [mm] \in [/mm] X: xRy [mm] \Rightarrow [/mm] yRx
3. für alle x,y,z [mm] \in [/mm] X: xRy und yRz [mm] \Rightarrow [/mm] xRz
kann mir vielleicht jemand, wie ich das bei dieser Aufgaben machen soll?
ich danke im voraus und wünsch euch allen einen schönen tag.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Melek.
Zur Reflexivität: ist ein [mm] $\partial\in [/mm] Hom(V,W)$, so gilt [mm] $id_W\circ\partial [/mm] = [mm] \partial\circ id_V$, [/mm] wobei [mm] $id_V,id_W$ [/mm] die Identitäts-Isomorphismen von $V$ bzw. $W$ seien. Klar?
Zum Nachweis der Symmetrie kannst du die Gleichung [mm] $g\circ\partial=\delta\circ [/mm] f$ rechtsseitig mit [mm] $f^{-1}$ [/mm] (Isomorphismus) und linksseitig mit [mm] $g^{-1}$ [/mm] (ebenfalls Isomorphismus) verknüpfen. Dann sollte das Gewünschte schon dastehen.
Kriegst du die Transitivität nach den beiden Beispielen nun selbst hin?
Liebe Grüße,
Hanno
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