Äquivalenzrelation < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei V ein Vektorraum. Definiere auf V eine Relation durch v [mm] \sim [/mm] w genau dann wenn {v,w} linear abhängig sind. Ist das eine Äquvalenzrelation? |
Hallo zusammen,
habe die Aufgabe bearbeitet und möchte gerne wissen, ob ich das richtig gemacht habe/ggf. ob und wo ich Fehler gemacht habe.
Also hierbei ist ja folgendes zu untersuchen:
1. Reflexivität: gilt v [mm] \sim [/mm] v , für alle V aus V?
2. Symmetrie: gilt v [mm] \sim [/mm] w [mm] \Rightarrow w\sim [/mm] v , für alle v,w aus V ?
3. Transitivität: gilt v [mm] \sim [/mm] w und w [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] v [mm] \sim [/mm] z , für alle v,w,z aus V?
zu 1)
ja, die Relation ist reflexsiv, denn da v zu sich selber immer linear abhängig ist.
zu 2)
ja, die Relation ist symetrisch, denn wenn v ein vielfaches von w ist, dann erhält man v, indem man w mit einem dementsprechenden Skalar multipliziert.(oder eben umgekehrt)
zu 3)
ja die relation ist transitiv, denn wenn v ein vielfaches von w ist (oder umgekehrt) und w ein vielfaches von z (oder umgekehrt), dann sind {v,z} auch linear abhängig für alle v,w,z aus V.
(1)(2)(3) [mm] \Rightarrow \sim [/mm] ist Äquivalenzrelation.
Stimmt das so??
Bitte um Stellungnahme.
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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> Sei V ein Vektorraum. Definiere auf V eine Relation durch v
> [mm]\sim[/mm] w genau dann wenn {v,w} linear abhängig sind. Ist das
> eine Äquvalenzrelation?
> Hallo zusammen,
>
> habe die Aufgabe bearbeitet und möchte gerne wissen, ob ich
> das richtig gemacht habe/ggf. ob und wo ich Fehler gemacht
> habe.
>
> Also hierbei ist ja folgendes zu untersuchen:
>
> 1. Reflexivität: gilt v [mm]\sim[/mm] v , für alle V aus V?
> 2. Symmetrie: gilt v [mm]\sim[/mm] w [mm]\Rightarrow w\sim[/mm] v , für alle
> v,w aus V ?
> 3. Transitivität: gilt v [mm]\sim[/mm] w und w [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm] v
> [mm]\sim[/mm] z , für alle v,w,z aus V?
Hallo,
>
> zu 1)
> ja, die Relation ist reflexsiv, denn da v zu sich selber
> immer linear abhängig ist.
Es ist v=1v, also v [mm] \sim [/mm] v
>
> zu 2)
> ja, die Relation ist symetrisch, denn wenn v ein
> vielfaches von w ist, dann erhält man v, indem man w mit
> einem dementsprechenden Skalar multipliziert.(oder eben
> umgekehrt)
Sei v=aw mit a [mm] \in [/mm] K
1. [mm] a\not=0: [/mm] dann ist [mm] w=a^{-1}v, [/mm] also w [mm] \sim [/mm] v
2. a=0, dann ist v=0 und somit w [mm] \sim [/mm] v.
>
> zu 3)
> ja die relation ist transitiv, denn wenn v ein vielfaches
> von w ist (oder umgekehrt) und w ein vielfaches von z (oder
> umgekehrt), dann sind {v,z} auch linear abhängig für alle
> v,w,z aus V.
EDIT: die Relation ist i.a. nicht transitiv:
Seien v,w linear unabhängig.
Es ist v~0 und 0~w, jedoch [mm] v\not\sim [/mm] w
Daher ist [mm] \sim [/mm] keine Äquivalenzrelation.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Mo 01.01.2007 | | Autor: | Spiel |
> > Sei V ein Vektorraum. Definiere auf V eine Relation durch v
> > [mm]\sim[/mm] w genau dann wenn {v,w} linear abhängig sind. Ist das
> > eine Äquvalenzrelation?
> > Hallo zusammen,
> >
> > habe die Aufgabe bearbeitet und möchte gerne wissen, ob ich
> > das richtig gemacht habe/ggf. ob und wo ich Fehler gemacht
> > habe.
> >
> > Also hierbei ist ja folgendes zu untersuchen:
> >
> > 1. Reflexivität: gilt v [mm]\sim[/mm] v , für alle V aus V?
> > 2. Symmetrie: gilt v [mm]\sim[/mm] w [mm]\Rightarrow w\sim[/mm] v , für
> alle
> > v,w aus V ?
> > 3. Transitivität: gilt v [mm]\sim[/mm] w und w [mm]\sim[/mm] z
> [mm]\Rightarrow[/mm] v
> > [mm]\sim[/mm] z , für alle v,w,z aus V?
>
> Hallo,
>
> Du hast das richtig gemacht, ich würde es allerdings noch
> ein wenig aufpuscheln.
>
> >
> > zu 1)
> > ja, die Relation ist reflexsiv, denn da v zu sich
> selber
> > immer linear abhängig ist.
>
> Es ist v=1v, also v [mm]\sim[/mm] v
> >
> > zu 2)
> > ja, die Relation ist symetrisch, denn wenn v ein
> > vielfaches von w ist, dann erhält man v, indem man w mit
> > einem dementsprechenden Skalar multipliziert.(oder eben
> > umgekehrt)
>
> Sei v=aw mit a [mm]\in[/mm] K
> 1. [mm]a\not=0:[/mm] dann ist [mm]w=a^{-1}v,[/mm] also w [mm]\sim[/mm] v
> 2. a=0, dann ist v=0 und somit w [mm]\sim[/mm] v.
>
> >
> > zu 3)
> > ja die relation ist transitiv, denn wenn v ein
> vielfaches
> > von w ist (oder umgekehrt) und w ein vielfaches von z (oder
> > umgekehrt), dann sind {v,z} auch linear abhängig für alle
> > v,w,z aus V.
>
> Es sei v=aw und w=bz mit a,b [mm]\in[/mm] K.
> Dann ist v=a(bz)=(ab)z, also v [mm]\sim[/mm] z
>
> >
> > (1)(2)(3) [mm]\Rightarrow \sim[/mm] ist Äquivalenzrelation.
>
> Gruß v. Angela
Sollte man nicht antisymmetri auch untersuchen?
Da Symmetrie gilt v $ [mm] \sim [/mm] $ w $ [mm] \Rightarrow w\sim [/mm] $ v , für alle v,w aus V
also dann ist v=w (wegen antisymmetri v $ [mm] \sim [/mm] $ w und w [mm] $\sim [/mm] $ v dann v=w)
Das ist aber nicht der Fall. Also v abhängig von w und w abhängig von v daraus folgt aber nicht, dass v=w .
Oder ist das ganze falsch, was ich geschrieben habe?
Velen Dank
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> Sollte man nicht antisymmetri auch untersuchen?
> Da Symmetrie gilt v [mm]\sim[/mm] w [mm]\Rightarrow w\sim[/mm] v , für alle
> v,w aus V
> also dann ist v=w (wegen antisymmetri v [mm]\sim[/mm] w und w
> [mm]\sim[/mm] v dann v=w)
> Das ist aber nicht der Fall. Also v abhängig von w und w
> abhängig von v daraus folgt aber nicht, dass v=w .
Hallo,
untersuchen kann man alles, was einen interessiert...
Aber für die Fragestellung, ob [mm] \sim [/mm] eine Äquivalenzrelation ist, ist die Frage nach der Antisymmetrie nicht von Belang.
Recht hast Du natürlich damit, daß [mm] \sim [/mm] nicht antisymmetrisch ist.
Gruß v. Angela
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Ja, das ist alles richtig so, aber: Betrachte nochmals alle Argumente, wobei v der Nullvektor ist, und überlege, ob dann auch noch alles so richtig ist. (Was dabei herauskommt, weiß ich selber nicht, aber du kannst es leicht feststellen.)
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hallo, verstehe nicht so ganz was sie meinen???
Angenommen v ist der Nullvektor, dann ist doch die Relation doch immernoch transtiv, reflexsiv und symmetrisch???Oder ewa nicht???
Viele Grüße, mathedepp_No.1
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Informacao |
Steht das nicht sogar wörtlich so im Skript? 
LG
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> hallo, verstehe nicht so ganz was sie meinen???
> Angenommen v ist der Nullvektor, dann ist doch die
> Relation doch immernoch transtiv, reflexsiv und
> symmetrisch???Oder ewa nicht???
HJKweseleits Hinweis mit der Null ist ernstzunehmen, beachte die Transitivität.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Blueman |
Hallo
Die Frage ist zwar schon längere Zeit beantwortet aber jetzt sitze ich vor der selben Aufgabe und bin auch auf das Problem mit der 0 gestossen:
Eine Menge, die den Nullvektor enthält ist ja immer linear abhängig.
Also:
[mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ~ [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] ~ [mm] \vektor{1 \\ 2}
[/mm]
=> [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] ~ [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] ?
Also ist die Relation doch nicht grundsätlich transitiv, oder?
Viele Grüße,
Blueman
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> Hallo
>
> Die Frage ist zwar schon längere Zeit beantwortet aber
> jetzt sitze ich vor der selben Aufgabe und bin auch auf das
> Problem mit der 0 gestossen:
>
> Eine Menge, die den Nullvektor enthält ist ja immer linear
> abhängig.
> Also:
>
> [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] ~ [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 0}[/mm] ~
> [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> => [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] ~ [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] ?
>
> Also ist die Relation doch nicht grundsätlich transitiv,
> oder?
Hallo,
Du hast völlig recht.
Gruß v. Angela
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Also ist das ja dann keine Äquivalenzrelation mehr, oder???
viele Grüße, der mathedepp_No.1
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> Also ist das ja dann keine Äquivalenzrelation mehr,
> oder???
Nee, jetzt nicht mehr. Der Blueman hat uns das gründlich verdorben...
(Ich habe die entsprechenden Stellen geändert.)
Danke Blueman!
Gruß v. Angela
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Hallo zusammen,
habe gerade nachgeschaut und habe festgestellt, dass dies wohl doch eine Äquivalenzrelation war....jetzt frage ich mich nur warum??
Die Argumentation mit [mm] w=\vektor{0 \\ 0} [/mm] klang doch bzgl. der Transitivität ganz plausibel....:-(
weiß da jemand bescheid??
Viele Grüße, der mathedepp_No.1
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mo 08.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
für die Transitivität hat Blueman doch ein schönes Gegenbeispiel aufgeschrieben, also ist diese nicht erfüllt und damit ist es auch keine Äqui.Relation...
viele Grüße
DaMenge
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ja, das habe ich auch gedacht/geglaubt, weils ja auch super plausibel war, jedoch habe ich heute (leider nur) das Ergebnis erfahren. und indem Stand, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation IST!!!
Weil ich das mir aber nicht erklären kann warum es anscheinend doch eine sein soll...frage ich nach...
liebe Grüße, mathedepp_No.1
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> ja, das habe ich auch gedacht/geglaubt, weils ja auch super
> plausibel war, jedoch habe ich heute (leider nur) das
> Ergebnis erfahren. und indem Stand, dass diese Relation
> eine Äquivalenzrelation IST!!!
Tja, wie gesagt:
Das (Gegen-)Beispiel vom Blueman ist so, daß man sich dem nicht entziehen kann...
Da kannst Du in der Übung glänzen...
Es sei denn, es gab noch irgendwelche Einschränkungen für den Vektorraum.
Falls Deinen Chefs Gründe einfallen, warum es DOCH eine Äquivalenzrelation ist, mußt Du sie uns unbedingt verraten! Dann dikutieren wir natürlich weiter.
Gruß v. Angela
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Alles klar, werd ich machen....Aber mehr Informationen, als die die ich gepostet hatte gab es wirklich nicht....naja, sobald ich bescheid weiß meld ich mich in diesem Thread nochmal dazu...
Trotzdem danke für alles!!
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Hallo
lt. Mitteilung vom Assi hat er den "Trick" mit dem Nullvektor übersehen und folglich eine falsche automatisierte Antwortabfrage ins System gestellt .
Er hat's dann aber korrigiert.
Gruß
schachuzipus
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ja, prima, habs auch grade gesehen!!!
Also Fazit dieses Threads: [mm] \sim [/mm] ist KEINE Äquivalenzrelation, da nicht transitiv!!!!
viele Grüße
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