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| Aufgabe | Es sei R Integritätsbereich. Wir definieren: a ist assoziiert zu b genau dann, wenn es eine Einheit e [mm] \in [/mm] R mit a=eb gibt.
z.z.: Die Relation a ist assoziiert zu b ist eine Äquivalenzrelation. |
1. Eine Relation ist eine Äquivalenzrelation wenn Refelxivität (a~a), Symmetrie (a~b [mm] \Rightarrow [/mm] b~a) und Transitivität (a~b [mm] \wedge [/mm] b~c [mm] \Rightarrow [/mm] a~c) gelten.
Reflexivität:
(a~a) Also a ist assoziiert zu a genau dann, wenn es eine Einhiet e [mm] \in [/mm] R gibt mit a=ea. Wenn e=1, dann ist a=a und somit ist a assoziiert zu a.
Richtig?
Jetzt wird es schwieriger!
Symmetrie:
(b~a [mm] \Rightarrow [/mm] b~a) Also aus a assoziiert zu b genau dann, wenn es eine Einheit e [mm] \in [/mm] R gibt mit a=eb [mm] \Rightarrow [/mm] b assoziiert zu a genau, dann wenn es eine Einheit e \ in R gibt mit b=ea.
Kann man das so schreiben? a=eb [mm] \Rightarrow [/mm] b=ea.
Wenn ja, wie kann man klug umformen?, so dass a=eb [mm] \Rightarrow [/mm] ... [mm] \Rightarrow [/mm] b=ea.
Transitivität:
(a~b [mm] \wedge [/mm] b~c [mm] \Rightarrow [/mm] a~c) Also aus a assoziiert zu b genau dann, wenn es eine Einheit e [mm] \in [/mm] R gibt mit a=eb und b assoziiert zu c genau dann, wenn es eine Eihnheit e [mm] \in [/mm] R gibt mit b=ec [mm] \Rightarrow [/mm] a assoziiert zu c genau dann, wenn es eine Einheit e [mm] \in [/mm] R gibt mit a=ec.
a=eb [mm] \wedge [/mm] b=ec [mm] \Rightarrow [/mm] a=ec
Hier würde ich mich auch über einen Tipp freuen.
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Tag !
> Es sei R Integritätsbereich. Wir definieren: a ist
> assoziiert zu b genau dann, wenn es eine Einheit e [mm]\in[/mm] R
> mit a=eb gibt.
> z.z.: Die Relation a ist assoziiert zu b ist eine
> Äquivalenzrelation.
> 1. Eine Relation ist eine Äquivalenzrelation wenn
> Refelxivität (a~a), Symmetrie (a~b [mm]\Rightarrow[/mm] b~a) und
> Transitivität (a~b [mm]\wedge[/mm] b~c [mm]\Rightarrow[/mm] a~c) gelten.
>
> Reflexivität:
> (a~a) Also a ist assoziiert zu a genau dann, wenn es eine
> Einhiet e [mm]\in[/mm] R gibt mit a=ea. Wenn e=1, dann ist a=a und
> somit ist a assoziiert zu a.
> Richtig?
>
Ja.
> Jetzt wird es schwieriger!
> Symmetrie:
> (b~a [mm]\Rightarrow[/mm] b~a) Also aus a assoziiert zu b genau
> dann, wenn es eine Einheit e [mm]\in[/mm] R gibt mit a=eb
> [mm]\Rightarrow[/mm] b assoziiert zu a genau, dann wenn es eine
> Einheit e \ in R gibt mit b=ea.
> Kann man das so schreiben? a=eb [mm]\Rightarrow[/mm] b=ea.
> Wenn ja, wie kann man klug umformen?, so dass a=eb
> [mm]\Rightarrow[/mm] ... [mm]\Rightarrow[/mm] b=ea.
>
Nun, aus a=eb und e'e=1 (solches e' gibt es ja, und dann gilt im übrigen auch ee'=1)
folgt e'a [mm] =e'(eb)=(e'e)b=1\cdot [/mm] b =b, gelle ?
> Transitivität:
> (a~b [mm]\wedge[/mm] b~c [mm]\Rightarrow[/mm] a~c) Also aus a assoziiert zu
> b genau dann, wenn es eine Einheit e [mm]\in[/mm] R gibt mit a=eb
> und b assoziiert zu c genau dann, wenn es eine Eihnheit e
> [mm]\in[/mm] R gibt mit b=ec [mm]\Rightarrow[/mm] a assoziiert zu c genau
> dann, wenn es eine Einheit e [mm]\in[/mm] R gibt mit a=ec.
> a=eb [mm]\wedge[/mm] b=ec [mm]\Rightarrow[/mm] a=ec
> Hier würde ich mich auch über einen Tipp freuen.
>
Das kann ja ein anderes e sein, nicht wahr ? gelte also
[mm] a=eb,\:\: [/mm] b=fc mit ee'=e'e=ff'=f'f=1, dann ist
a=eb=e(fc)=(ef)c
und zu zeigen ist, dass ef Einheit ist. Dem ist so wegen [mm] (f'e')\cdot [/mm] (ef) =1, in Ordnung ?
Gruss,
Mathias
> Vielen Dank!
>
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