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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:31 Sa 07.11.2009 | | Autor: | ducan |
| Aufgabe | M sei die Menge { a, b, c, d, e, f} Ergänzen Sie
(1) die Menge { (e, e), (f, d), (c, a), (b, f) } zu einer Äquivalenzrelation auf M
mit mindestens zwei Aquivalenzklassen,
(2) die Menge{ (a, a), (f, e), (c, d), (a, b), (c, a), (e, b), (f, d) } zu einer totalen
Ordnung auf M.
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Folgender Lösungsansatz:
(1)
(a) e [mm] \sim [/mm] e [mm] \gdw [/mm] e ist reflexsiv
(b) c [mm] \sim [/mm] a [mm] \gdw [/mm] a [mm] \sim [/mm] c [mm] \Rightarrow [/mm] a,c sind symmetrisch
(c) b [mm] \sim [/mm] f [mm] \gdw [/mm] f [mm] \sim [/mm] b (Symmetrie)
(d) f [mm] \sim [/mm] d
(c) in Verbindung mit (d):
(e) f [mm] \sim [/mm] b [mm] \wedge [/mm] f [mm] \sim [/mm] d [mm] \gdw [/mm] b [mm] \sim [/mm] d ( f, b, d sind transitiv)
Äquivalenzklassen
bei (b)
[mm] [c]\sim:= [/mm] {a [mm] \in [/mm] M | c [mm] \sim [/mm] a } 1. Klasse
[mm] [c]\sim:= [/mm] {c [mm] \in [/mm] M | a [mm] \sim [/mm] c }
bei (c)
[mm] [b]\sim:= [/mm] {f [mm] \in [/mm] M | b [mm] \sim [/mm] f } 2. Klasse
[mm] [f]\sim:= [/mm] {b [mm] \in [/mm] M | f [mm] \sim [/mm] b }
bei (e)
[mm] [b]\sim:= [/mm] {d [mm] \in [/mm] M | b [mm] \sim [/mm] d } 3. Klasse
[mm] [d]\sim:= [/mm] {b [mm] \in [/mm] M | d [mm] \sim [/mm] b }
bei (d)
[mm] [f]\sim:= [/mm] {d [mm] \in [/mm] M | f [mm] \sim [/mm] d } 4. Klasse
[mm] [d]\sim:= [/mm] {f [mm] \in [/mm] M | d [mm] \sim [/mm] f }
(2)
a [mm] \le [/mm] a [mm] \vee [/mm] a [mm] \ge [/mm] a
f [mm] \le [/mm] e [mm] \vee [/mm] f [mm] \ge [/mm] e
c [mm] \le [/mm] d [mm] \vee [/mm] c [mm] \ge [/mm] d
a [mm] \le [/mm] b [mm] \vee [/mm] a [mm] \ge [/mm] b
c [mm] \le [/mm] a [mm] \vee [/mm] c [mm] \ge [/mm] a
e [mm] \le [/mm] b [mm] \vee [/mm] e [mm] \ge [/mm] b
f [mm] \le [/mm] d [mm] \vee [/mm] f [mm] \ge [/mm] d
Daraus habe ich folgendes formuliert:
[mm] \forall [/mm] a,b,c,d,e,f [mm] \in [/mm] M: (f [mm] \le [/mm] d [mm] \ge [/mm] c [mm] \ge [/mm] a [mm] \ge [/mm] b [mm] \le [/mm] e [mm] \le [/mm] f [mm] \ge [/mm] d) [mm] \vee [/mm] (f [mm] \ge [/mm] d [mm] \le [/mm] c [mm] \ge [/mm] a [mm] \ge [/mm] b [mm] \le [/mm] e [mm] \le [/mm] f [mm] \ge [/mm] d)
Ich habe versucht diese Mengen zu einer totalen Ordnung zu formulieren, ich habe nur keine Ahnung ob dies eine Lösung darstellt, bzw ob das überhaupt richtig ist, was ich da formuliert habe.
Ich würde mich sehr über ein Feedback freuen. Es kann natürlich auch sein, dass meine Lösung totaler Humbock ist - in dem Fall würde ich mich über einen richtigen Ansatz oder Lösung sehr freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mfg Ducan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Sa 07.11.2009 | | Autor: | uliweil |
Hallo Ducan,
ich denke, Du hast die Aufgabenstellung nicht richtig verstanden. Deshalb zunächst kurz nochmal einige Hinweise:
Eine Relation R ist ja bekanntlich eine Teilmenge eines kartesischen Produktes M x M, ist also eine Menge von Paaren mit Elementen aus M.
Eine Äquivalenzrelation ist nun eine Relation mit speziellen Eigenschaften. Ich greife hier zunächst die erste heraus, wobei ich die obigen Bezeichnungen benutze:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M: (x,x) [mm] \in [/mm] R,
was ja bedeutet, dass jedes mögliche Paar zweier gleicher Elemente aus M in R vorkommen muss.
Wenn man jetzt die in (1) aufgeschriebene Menge von Paaren betrachtet, sieht man, dass hier nur (e,e) in dieser Menge vorhanden ist, aber alle anderen Paare gleicher Elemente aus M fehlen.
Spätetstens jetzt sollte die Aufgabenstellung klar werden:
"Ergänzen Sie die Menge ... zu einer Äquivalenzrelation".
Natürlich muss man auch noch die zweite und die dritte Bedingung der Äquivalenzrelationsdefinition prüfen und ggf. weitere Elemente hinzufügen. Nun kann man diese Ergänzung auf viele verschiedene Arten durchführen (man könnte z.B. einfach auf die Idee kommen R = M x M zu nehmen). Dies verhindert nun allerdings die Zusatzforderung, dass mindestens 2 Äquivalenzklassen dabei herauskommen sollen.
Gruß
Uli
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