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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Sa 20.10.2007 | | Autor: | omni-vi |
| Aufgabe | Sei R eine reflexive Relation auf einer Menge A. Man zeige:
R ist Äquivalenzrelation [mm] \gdw \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] A gilt : (aRc und bRc) [mm] \Rightarrow [/mm] aRb. |
Hi
Kann man das überhaupt zeigen? Ich meine sicher, die Aufgabe stände da nicht, wenn sie nicht lösbar wäre, aber logisch erscheint es mir nicht.
Beispiel : A={1,2,3} und R={(1,1),(2,2),(3,3),(1,2)}.
Dann ist die Reflexivität erfüllt, denn für jedes a ist (a,a) in der Relation.
Aber auch die zweite Bedingung ist meiner Meinung nach erfüllt, denn (aRc und bRc) ist falsch, da es kein bRc in der Relation gibt, aber [mm] "\Rightarrow" [/mm] ist wahr, den aus etwas Falschem folgt immer etwas Wahres. Oder nicht?
Dennoch ist die Relation nicht symmetrisch, da (2,1) nicht in der Relation ist, und daher auch keine Äquivalenzrelation.
Danke fürs nachdenken 
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Hallo omni-vi,
die "globale" Voraussetzung ist hier, dass die Relation $R$ auf der Menge $A$ reflexiv ist, dass also für alle [mm] $a\in [/mm] A$ gilt: $aRa$
die zu beweisende Aussage ist ein Äquivalenzaussage:
$R$ Äquivalenzrelation [mm] $\gdw\forall a,b,c\in [/mm] A : [mm] (aRc\wedge bRc)\Rightarrow [/mm] aRb$
du musst also 2 Richtungen zeigen:
zum einen [mm] "\Rightarrow": [/mm] $R$ Äquivalenzrelation [mm] $\Rightarrow\forall a,b,c\in [/mm] A : [mm] (aRc\wedge bRc)\Rightarrow [/mm] aRb$
Also sei $R$ eine Äquivalenzrelation, dh, $R$ ist reflexiv (ist sie sowieso nach der globalen Vor.), symmetrisch und transitiv
Nun musst du zeigen, dass [mm] $\forall a,b,c\in [/mm] A : [mm] (aRc\wedge bRc)\Rightarrow [/mm] aRb$
Nimm dir also beliebige [mm] $a,b,c\in [/mm] A$ her mit [mm] $aRc\wedge [/mm] bRc$
Nun weißt du, dass $R$ als Äquivalenzrelation symmetrisch ist, also [mm] $bRc\Rightarrow [/mm] cRb$
Also hast du [mm] $aRc\wedge [/mm] cRb$
Also....
Dann bleibt noch die Rückrichtung [mm] "\Leftarrow"
[/mm]
dh. zz:
[mm] $\underbrace{\forall a,b,c\in A : \left[(aRc\wedge bRc)\Rightarrow aRb\right]}_{\text{Voraussetzung}}\Rightarrow [/mm] R$ Äquivalenzrelation
Dazu musst du die 3 Eigenschaften einer Äquivalenzrelation halt unter der Voraussetzung [mm] $\forall a,b,c\in [/mm] A : [mm] (aRc\wedge bRc)\Rightarrow aRb\Rightarrow [/mm] R$ nachweisen
Versuch mal, ob du mit diesen Hinweisen weiter kommst 
LG
schachuzipus
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Hi nochmal,
kurze Anmerkung:
Bei der Rückrichtung musst du natürlich die Reflexivität von $R$ nicht beweisen, die gilt ja nach der "globalen" Vor.
Also nur Symmetrie und Transitivität
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:39 Sa 20.10.2007 | | Autor: | omni-vi |
Hallo,
erstmal Danke für die Antwort. Aber genau mit der Rückrichtung habe ich ja ein Problem, da ich der Meinung bin, dass die Aussage in Rückrichtung nicht gilt. Das habe ich ja versucht mit meinem Beispiel zu zeigen.
Nochmal: wenn (aRc [mm] \wedge [/mm] bRc) falsch ist, ist [mm] \left[(aRc\wedge bRc)\Rightarrow aRb\right] [/mm] richtig. Dann ist aber auch [mm] \forall a,b,c\in [/mm] A : [mm] \left[(aRc\wedge bRc)\Rightarrow aRb\right] [/mm] richtig. Dennoch ist ein meinem Beispiel R keine Äquivalenzrelation. Vielleicht kannst du mir in meinem Beispiel den Fehler aufzeigen, dann versteh ich es viellecht besser
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 20.10.2007 | | Autor: | omni-vi |
Sorry, war ne Frage, keine Mitteilung
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Hi,
ich denke, dein "Gegen"Bsp "hakt " an den Elementen $(2,2)$ und $(1,2)$
Ich nenne deine Menge mal $M$ , um Verwechselungen mit der Relation $R$ zu vermeiden
Hier ist $aRc$ UND $bRc$ erfüllt, aber nicht $aRb$
denn [mm] $(2R2\wedge [/mm] 1R2) [mm] \wedge \neg [/mm] (2R1)$ , denn [mm] $(2,2),(1,2)\in [/mm] M [mm] ,(2,1)\notin [/mm] M$
Damit ist die Bedingung [mm] $\forall a,b,c\in [/mm] A : [mm] (aRc\wedge bRc)\Rightarrow [/mm] aRb $ NICHT erfüllt
Also ist deine Menge M kein Gegenbsp.
Versuch's mit nem BEweis
Das klappt eher
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Sa 20.10.2007 | | Autor: | omni-vi |
Jetzt hat es klick gemacht . Danke für die Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo,
ich klinke mich mal ein. Ich sitze an der gleichen Aufgabe und konnte das bis hierhin auch alles nachvollziehen. Aber ich fürchte, bei mir hat es noch nicht so ganz klick gemacht und ich weiß nicht recht, wie ich die Symmetrie und Transitivität mit der Voraussetzung beweisen kann. Hat jemand vielleicht einen kleinen Hinweis? Wäre echt dankbar!
lg Elfe
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Hallo Elfe,
mal zur Symmetrie:
Wir haben die Voraussetzungen:
(1) R ist reflexiv auf A(Globalvor.), dh. [mm] $\forall a\in [/mm] A : aRa$
(2) [mm] $\forall a,b,c\in [/mm] A : [mm] (aRc\wedge bRc)\Rightarrow [/mm] aRb$
zu zeigen ist ja: [mm] $\forall a,b\in [/mm] A : [mm] aRb\Rightarrow [/mm] bRa $
Nehmen wir uns also beliebige [mm] $a,b\in [/mm] A$ her mit $aRb$
Aufgrund der vorausgesetzten Reflexivität von $R$ gilt doch sicher: $bRb$
Dann haben wir also [mm] $bRb\wedge [/mm] aRb$
Was folgt daraus? Und warum?
Und zack, die Symmetrie ist erledigt
Versuche nun selbst die Transitivität ähnlich zu verarzten
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Elfe |
Okay, also daraus folgt ja, dass b R a aufgrund der Voraussetzung lässt sich das ja schließen. Damit ists symmetrisch.
Aber ich glaub ich bin echt blöde, ich weiß nicht wie ich auf die Transitivität kriege. Also die Eigenschaft davon ist ja: aRb [mm] \wedge [/mm] bRc [mm] \Rightarrow [/mm] aRc
Ich weiß aber nicht wirklich, wie ich das mit der Voraussetzung vereinbaren kann. Kann ich einfach in der Vorraussetzung bRc vertauschen mit cRb dadurch, dass ich die Symmetrie schon bewiesen habe?
lg Elfe
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Hallo nochmal,
du benötigst die bereits bewiesene Symmetrie nicht, du könntest aber
Es ist wie oben ein Zweizeiler.
Nimm dir wieder [mm] $a,b,c\in [/mm] A$ beliebig her mit [mm] $aRb\wedge [/mm] bRc$
$R$ ist reflexiv, also ist $cRc$
Das verarbeite mit $bRc$
Das, was sich dabei ergibt, verarbeite mit $aRb$
Herauskommen sollte $aRc$
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:15 Sa 20.10.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo,
danke!!! Ich glaube, jetzt habe ich es endlich verstanden!
lg Elfe
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