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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 So 11.06.2006 | | Autor: | derLoki |
| Aufgabe | Sei f: A [mm] \to [/mm] D eine affine Abbildung und g=f(Dach) die zugeordnete lineare Abiildung, so gilt:
a) f surjektiv (injektiv/bijektiv) [mm] \gdw [/mm] g surjektiv (injektiv/bijektiv)
b) f bijektiv, so gilt: (f^-1)Dach = g^-1 |
Hallo.
Wie kann ich das denn zeigen???
Mir fehlgt hier jede Idee.
Wäre euch für Hilfe sehr dankbar!
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Wenn f affin linear ist und g die zugehörige lineare Abbildung, dann ist
f(x)=g(x)+d, [mm] \forall{}x\in{}A [/mm] und [mm] d\in{}D [/mm] ist konstant. Damit kannst du
Teil a) direkt durch die Definition von injektiv bzw. surjektiv zeigen.Über diese Gleichung lässt sich auch b) zeigen. Poste doch erstmal Ansätze, dann kann man dir besser helfen.
MFG Verena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 So 11.06.2006 | | Autor: | tempo |
hi, also wir haben eine ähnliche aufgabe und da hätte ich zur b) noch leichte schwierigkeiten.
also die a) habe ich so probiert:
f injektiv d.h. [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] A : f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x=y
aus f(x) = g(x) +d und f(y) = g(y) +d folgt g(y)+d=g(x)+d [mm] \Rightarrow [/mm] g(y)=g(x) und mit x=y (da f injektiv) ist auch g injektiv. in die andere richtung genauso, bzw [mm] \Rightarrow [/mm] mit [mm] \gdw [/mm] ersetzen...
f surjektiv d.h. [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] D [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] A : f(x)=y
also f(x)=y=g(x)+d [mm] \to [/mm] y-d=g(x) mit y-d=z [mm] \Rightarrow [/mm] g(x)=z d.h. [mm] \forall [/mm] z [mm] \in V_{D} \exists [/mm] x [mm] \in V_{A} [/mm] und damit ist g surjektiv. in andere richtung analog...
hier mal eine kurze frage, darf ich das so "beweisen"? bin mir da nicht so sicher wie bei injektivität...
für f bijektiv = injektiv und surjektiv (also fast nur nochmal abschreiben) oder?
und jetzt bei der b) fehlt mir noch irgendwie der durchblick:
habe f bijektiv und g bijektiv (aus beweis zuvor)
f(x) = g(x) +d [mm] \to f(x)^{-1} [/mm] = [mm] g(x)^{-1} [/mm] + d'
bin mir jetzt aber gar nicht mehr sicher was ich da mache^^! darf ich da so drangehen? und ist das d' = d ? mein "brain" sagt mir d' [mm] \not= [/mm] d aber wie es weitergehen soll sagt es mir nicht ;) daher zweifle ich erstmal an dem was es mir vorgibt...
mit dank (für tips) im voraus...
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> hi, also wir haben eine ähnliche aufgabe und da hätte ich
> zur b) noch leichte schwierigkeiten.
>
> also die a) habe ich so probiert:
>
> f injektiv d.h. [mm]\forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] A : f(x)=f(y) [mm]\Rightarrow[/mm]
> x=y
> aus f(x) = g(x) +d und f(y) = g(y) +d folgt g(y)+d=g(x)+d
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(y)=g(x) und mit x=y (da f injektiv) ist auch
> g injektiv. in die andere richtung genauso, bzw [mm]\Rightarrow[/mm]
> mit [mm]\gdw[/mm] ersetzen...
Du fängst von der falschen Richtung aus an, das ist unsauber.
Sei f injektiv und [mm] x,y\in{}A, [/mm] so dass [mm] g(x)=g(y)\Rightarrow [/mm] f(x)-d=f(y)-d [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] (da f injektiv) x=y [mm] \Rightarrow [/mm] g injektiv
> f surjektiv d.h. [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] D [mm]\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] A : f(x)=y
> also f(x)=y=g(x)+d [mm]\to[/mm] y-d=g(x) mit y-d=z [mm]\Rightarrow[/mm]
> g(x)=z d.h. [mm]\forall[/mm] z [mm]\in V_{D} \exists[/mm] x [mm]\in V_{A}[/mm] und
> damit ist g surjektiv. in andere richtung analog...
> hier mal eine kurze frage, darf ich das so "beweisen"? bin
> mir da nicht so sicher wie bei injektivität...
Ist auch wieder etwas unsauber aufgeschrieben.
> und jetzt bei der b) fehlt mir noch irgendwie der
> durchblick:
> habe f bijektiv und g bijektiv (aus beweis zuvor)
> f(x) = g(x) +d [mm]\to f(x)^{-1}[/mm] = [mm]g(x)^{-1}[/mm] + d'
Woher weißt du das? Das müsstest du natürlich noch beweisen. Ist aber richtig. Wenn du jetzt f auf [mm] f^{-1} [/mm] anwendest, bekommst du heraus wie du d' wählen musst. Also:
[mm] f(f^{-1}(x))=f(g^{-1}(x)+d')=g(g^{-1}(x)+d')+d=x+g(d')+d
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] g(d')+d=0
Mit diesem d' müsstest du dann noch zeigen, dass [mm] f^{-1}(f(x))=x
[/mm]
Dann hast du dein [mm] f^{-1} [/mm] eindeutig bestimmt und musst nur noch zeigen, dass [mm] {f^{-1}}^{Dach}=g^{-1}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Mo 12.06.2006 | | Autor: | tempo |
> > und jetzt bei der b) fehlt mir noch irgendwie der
> > durchblick:
> > habe f bijektiv und g bijektiv (aus beweis zuvor)
> > f(x) = g(x) +d [mm]\to f(x)^{-1}[/mm] = [mm]g(x)^{-1}[/mm] + d'
> Woher weißt du das? Das müsstest du natürlich noch
> beweisen. Ist aber richtig. Wenn du jetzt f auf [mm]f^{-1}[/mm]
> anwendest, bekommst du heraus wie du d' wählen musst.
also ich weiß das nicht, das ist mir einfach so in den sinn gekommen das so zu machen und das d ist dann eben ein anderes also ein d'...
> Also:
> [mm]f(f^{-1}(x))=f(g^{-1}(x)+d')=g(g^{-1}(x)+d')+d=x+g(d')+d[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(d')+d=0
> Mit diesem d' müsstest du dann noch zeigen, dass
> [mm]f^{-1}(f(x))=x[/mm]
> Dann hast du dein [mm]f^{-1}[/mm] eindeutig bestimmt und musst nur
> noch zeigen, dass [mm]{f^{-1}}^{Dach}=g^{-1}[/mm]
sorry aber irgendwie sehe ich immer noch nicht wie ich auf [mm] {f^{-1}}^{Dach}=g^{-1} [/mm] komme!? ok ich habe g(d')+d=0 also f(d')=0 aber wie bringt mich das weiter? und [mm] f(f^{-1}(x))=x [/mm] haben wir irgendwann letztes sem. bewiesen, dann werde ich es wohl nicht nochmals herleiten/beweisen müssen, oder?!
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> > > und jetzt bei der b) fehlt mir noch irgendwie der
> > > durchblick:
> > > habe f bijektiv und g bijektiv (aus beweis zuvor)
> > > f(x) = g(x) +d [mm]\to f(x)^{-1}[/mm] = [mm]g(x)^{-1}[/mm] + d'
> > Woher weißt du das? Das müsstest du natürlich noch
> > beweisen. Ist aber richtig. Wenn du jetzt f auf [mm]f^{-1}[/mm]
> > anwendest, bekommst du heraus wie du d' wählen musst.
> also ich weiß das nicht, das ist mir einfach so in den sinn
> gekommen das so zu machen und das d ist dann eben ein
> anderes also ein d'...
>
> > Also:
> >
> [mm]f(f^{-1}(x))=f(g^{-1}(x)+d')=g(g^{-1}(x)+d')+d=x+g(d')+d[/mm]
> > [mm]\Rightarrow[/mm] g(d')+d=0
> > Mit diesem d' müsstest du dann noch zeigen, dass
> > [mm]f^{-1}(f(x))=x[/mm]
> > Dann hast du dein [mm]f^{-1}[/mm] eindeutig bestimmt und musst
> nur
> > noch zeigen, dass [mm]{f^{-1}}^{Dach}=g^{-1}[/mm]
> sorry aber irgendwie sehe ich immer noch nicht wie ich auf
> [mm]{f^{-1}}^{Dach}=g^{-1}[/mm] komme!? ok ich habe g(d')+d=0 also
> f(d')=0 aber wie bringt mich das weiter?
Gar nicht, da du d' bestimmen solltest! Aus g(d')+d=0 folgt [mm] d'=g^{-1}(-d)
[/mm]
Dann hast du [mm] f^{-1}(x)=g^{-1}(x)+g^{-1}(-d).
[/mm]
Außerdem hast du schon gezeigt, dass [mm] f(f^{-1}(x))=x.
[/mm]
Wenn jetzt außerdem noch [mm] f^{-1}(f(x))=x [/mm] ist, dann ist [mm] f^{-1} [/mm] die gesuchte Umkehrabbildung. Ihr habt sicher gezeigt, dass für eine Umkehrabbildung sowohl [mm] f(f^{-1}(x))=x [/mm] als auch [mm] f^{-1}(f(x))=x [/mm] gilt.
Deswegen musst du auch beides zeigen, um sicher zu sein, dass deine Abbildung [mm] f^{-1} [/mm] auch wirklich die Umkehrabbildung zu f ist.
Wenn g linear und bijektiv, so ist auch die Umkehrabbildung linear und bijektiv. Das heißt, [mm] f^{-1}(x)=g^{-1}(x)+g^{-1}(-d). [/mm] Also ist [mm] f^{-1} [/mm] affin linear. So, was ist jetzt die lineare Abbildung, die zu [mm] f^{-1} [/mm] gehört.
Also wie sieht [mm] {f^{-1}}^{Dach} [/mm] aus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Mo 12.06.2006 | | Autor: | tempo |
wow danke veri, langsam hilfts und der nebel lichtet sich... muss jetzt aber erstmal die f und g's umschreiben, haben nämlich komplett andere bezeichnungen und muss daher ständig "umrechnen"
mfg
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