affine Teilräume < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Hi,
Ich habe folgende Aufgabe und komme nicht ganz weiter?
"Welcher der folgenden Mengen M sind affine Teilräume des angegebenen affinen Raumes?
Gib auch die Dimension von M an. Dabei ist stets $x= [mm] \vektor{x1 \\ ...\\ x_n} [/mm] für das passende $n$.
M= [mm] \{x \in \IR^3 | 7x_1 − 2x_2 + 5x_3 = 8\} \subseteq \IR^3"
[/mm]
Ich bin dankbar für jeden Rat
mfg |
Hey, also wenn ich die Definition richtig verstanden habe muss ich zeigen , dass
$M = v + [mm] U_M [/mm] $
Also es ist dann ein affiner Teilraum, wenn ich einen Vektor aus [mm] \IR^3 [/mm] zu einem Unterraum von M dazuaddiere.
Nur wie stelle ich dies an?
Beispielsweise nehme ich:
[mm] $U_M [/mm] = [mm] 7\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] - [mm] 2\vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] + [mm] 5\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ 8 \\ 8}$
[/mm]
$v = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] $
Wie soll ich dies nun addieren, bzw bin ich überhaupt am richtige Weg?
mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:41 Di 23.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
>
> Ich habe folgende Aufgabe und komme nicht ganz weiter?
>
> "Welcher der folgenden Mengen M sind affine Teilräume des
> angegebenen affinen Raumes?
> Gib auch die Dimension von M an. Dabei ist stets $x=
> [mm]\vektor{x1 \\ ...\\ x_n}[/mm] für das passende $n$.
>
> M= [mm]\{x \in \IR^3 | 7x_1 − 2x_2 + 5x_3 = 8\} \subseteq \IR^3"[/mm]
M lautet wohl so:
M= [mm]\{x \in \IR^3 | 7x_1-2x_2 + 5x_3 = 8\} \subseteq \IR^3"[/mm]
>
> Ich bin dankbar für jeden Rat
> mfg
> Hey, also wenn ich die Definition richtig verstanden habe
> muss ich zeigen , dass
>
> [mm]M = v + U_M[/mm]
>
> Also es ist dann ein affiner Teilraum, wenn ich einen
> Vektor aus [mm]\IR^3[/mm] zu einem Unterraum von M dazuaddiere.
>
> Nur wie stelle ich dies an?
>
> Beispielsweise nehme ich:
>
> [mm]U_M = 7\vektor{1 \\ 1 \\ 1} - 2\vektor{2 \\ 2 \\ 2} + 5\vektor{1 \\ 1 \\ 1} = \vektor{8 \\ 8 \\ 8}[/mm]
Was machst Du da ?
>
> [mm]v = \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Wie soll ich dies nun addieren, bzw bin ich überhaupt am
> richtige Weg?
Nein. Erinnere Dich an Deine Schulzeit: M ist eine Ebene im [mm] \IR^3, [/mm] gegeben in Koordinatenform. Wandle um in die Parameterform:
Bestimme p,u,v [mm] \in \IR^3 [/mm] so, dass
[mm] M=\{p+ru+sv:r,s \in \IR\}
[/mm]
(u und v sind Richtungsvektoren der Ebene)
Ist [mm] U_M [/mm] die lineare Hülle von [mm] \{u,v\}, [/mm] so ist
[mm] M=p+U_M.
[/mm]
FRED
>
> mfg
>
>
>
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort, umgeformt auf Parameterform erhalte ich.
$M [mm] =\{\vektor{0\\0 \\ 8/5} + r\vektor{1\\0 \\ -3/5} + s \vektor{0\\1 \\ 2/5} \}$
[/mm]
Ok nun ist doch die lineare Hülle die Anzahl aller möglichen (endlichen) linear Kombinationen. woher weis man dann ob [mm] U_M [/mm] die lineare Hülle von u,v ist. Denn wenn ich mich nicht irre spannen diese 2 nur eine Ebene auf
mfg
|
|
|
| |
|
> Danke für deine Antwort, umgeformt auf Parameterform
> erhalte ich.
>
> [mm]M =\{\vektor{0\\
0 \\
8/5} + r\vektor{1\\
0 \\
-3/5} + s \vektor{0\\
1 \\
2/5}|\red{r,s\in \IR} \}[/mm].
Hallo,
Du solltest die Richtungsvektoren nochmal prüfen.
Der eine scheint mir falsch zu sein.
>
> Ok nun ist doch die lineare Hülle die Anzahl aller
> möglichen (endlichen) linear Kombinationen.
Nein.
Es ist die Menge aller Linearkombiantionen.
> woher weis man
> dann ob [mm]U_M[/mm] die lineare Hülle von u,v ist. Denn wenn ich
> mich nicht irre spannen diese 2 nur eine Ebene auf
Ich weiß nicht genau, was Du meinst.
Ja, Dein affiner Unterraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist eine Ebene.
Das ist richtig.
LG Angela
>
> mfg
|
|
|
| |
|
>
> > Danke für deine Antwort, umgeformt auf Parameterform
> > erhalte ich.
> >
> > [mm]M =\{\vektor{0\\
0 \\
8/5} + r\vektor{1\\
0 \\
-3/5} + s \vektor{0\\
1 \\
2/5}|\red{r,s\in \IR} \}[/mm].
>
> Hallo,
>
> Du solltest die Richtungsvektoren nochmal prüfen.
> Der eine scheint mir falsch zu sein.
Sorry. hab ich falsch aufgeschrieben :(
[mm]M =\{\vektor{0\\
0 \\
8/5} + r\vektor{1\\
0 \\
\red{-7/5}} + s \vektor{0\\
1 \\
2/5}|r,s\in \IR \}[/mm].
>
> >
> > Ok nun ist doch die lineare Hülle die Anzahl aller
> > möglichen (endlichen) linear Kombinationen.
>
> Nein.
> Es ist die Menge aller Linearkombiantionen.
>
>
> > woher weis man
> > dann ob [mm]U_M[/mm] die lineare Hülle von u,v ist. Denn wenn ich
> > mich nicht irre spannen diese 2 nur eine Ebene auf
>
> Ich weiß nicht genau, was Du meinst.
Ich habe versucht die Aussage von fred97 zu deuten
Zitat fred97:
"Ist $ [mm] U_M [/mm] $ die lineare Hülle von $ [mm] \{u,v\}, [/mm] $ so ist
$ [mm] M=p+U_M. [/mm] $"
Aber wie soll ich dies dann verstehen. Wenn ich nun [mm] U_M [/mm] eine Ebene ist und ich dazu mein p addiere erhalte ich doch den Raum [mm] \IR^3 [/mm] oder?
mfg
>
> LG Angela
> >
> > mfg
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:05 Di 23.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> >
> > > Danke für deine Antwort, umgeformt auf Parameterform
> > > erhalte ich.
> > >
> > > [mm]M =\{\vektor{0\\
0 \\
8/5} + r\vektor{1\\
0 \\
-3/5} + s \vektor{0\\
1 \\
2/5}|\red{r,s\in \IR} \}[/mm].
>
> >
> > Hallo,
> >
> > Du solltest die Richtungsvektoren nochmal prüfen.
> > Der eine scheint mir falsch zu sein.
>
> Sorry. hab ich falsch aufgeschrieben :(
>
> [mm]M =\{\vektor{0\\
0 \\
8/5} + r\vektor{1\\
0 \\
\red{-7/5}} + s \vektor{0\\
1 \\
2/5}|r,s\in \IR \}[/mm].
>
> >
> > >
> > > Ok nun ist doch die lineare Hülle die Anzahl aller
> > > möglichen (endlichen) linear Kombinationen.
> >
> > Nein.
> > Es ist die Menge aller Linearkombiantionen.
> >
> >
> > > woher weis man
> > > dann ob [mm]U_M[/mm] die lineare Hülle von u,v ist. Denn wenn ich
> > > mich nicht irre spannen diese 2 nur eine Ebene auf
> >
> > Ich weiß nicht genau, was Du meinst.
>
> Ich habe versucht die Aussage von fred97 zu deuten
>
> Zitat fred97:
> "Ist [mm]U_M[/mm] die lineare Hülle von [mm]\{u,v\},[/mm] so ist
> [mm]M=p+U_M. [/mm]"
>
> Aber wie soll ich dies dann verstehen. Wenn ich nun [mm]U_M[/mm]
> eine Ebene ist und ich dazu mein p addiere erhalte ich doch
> den Raum [mm]\IR^3[/mm] oder?
Nein. [mm] U_M [/mm] ist eine Ebene durch den Ursprung. [mm] p+U_M [/mm] ist eine Ebene , die p enthält.
FRED
>
> mfg
>
>
>
> >
> > LG Angela
> > >
> > > mfg
> >
>
|
|
|
| |
|
> Nein. [mm]U_M[/mm] ist eine Ebene durch den Ursprung. [mm]p+U_M[/mm] ist eine
> Ebene , die p enthält.
Ok, also um meine Frage zu beantworten, habe ich nun eine Ebene, was eine affine Teilmenge des [mm] \IR^3 [/mm] ist. Weiteres hat dieser eine Dimension von 2.
Stimmt das?
Danke euch
>
> FRED
> >
> > mfg
> >
> >
> >
> > >
> > > LG Angela
> > > >
> > > > mfg
> > >
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Di 23.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Nein. [mm]U_M[/mm] ist eine Ebene durch den Ursprung. [mm]p+U_M[/mm] ist eine
> > Ebene , die p enthält.
>
> Ok, also um meine Frage zu beantworten, habe ich nun eine
> Ebene, was eine affine Teilmenge des [mm]\IR^3[/mm] ist. Weiteres
> hat dieser eine Dimension von 2.
>
> Stimmt das?
Ja
FRED
>
> Danke euch
>
>
> >
> > FRED
> > >
> > > mfg
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > > LG Angela
> > > > >
> > > > > mfg
> > > >
> > >
> >
>
|
|
|
| |
|
OK.
Allerletzte Frage und zwar funktioniert dies bei diesem Beispiel auch analog?
M := [mm] \{x \in \IR^2 | x_1^2+x_2^2 -6x_1 +16x_2 -48 =0\}
[/mm]
mfg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Di 23.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> OK.
>
> Allerletzte Frage und zwar funktioniert dies bei diesem
> Beispiel auch analog?
>
> M := [mm]\{x \in \IR^2 | x_1^2+x_2^2 -6x_1 +16x_2 -48 =0\}[/mm]
Nein. Dieses M ist kein affiner Raum
FRED
>
> mfg
>
>
>
|
|
|
| |
|
> > OK.
> >
> > Allerletzte Frage und zwar funktioniert dies bei diesem
> > Beispiel auch analog?
> >
> > M := [mm]\{x \in \IR^2 | x_1^2+x_2^2 -6x_1 +16x_2 -48 =0\}[/mm]
>
> Nein. Dieses M ist kein affiner Raum
ok, und woher siehst du dies auf einen Blick?
mfg
>
> FRED
> >
> > mfg
> >
> >
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:09 Di 23.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> > > OK.
> > >
> > > Allerletzte Frage und zwar funktioniert dies bei diesem
> > > Beispiel auch analog?
> > >
> > > M := [mm]\{x \in \IR^2 | x_1^2+x_2^2 -6x_1 +16x_2 -48 =0\}[/mm]
>
> >
> > Nein. Dieses M ist kein affiner Raum
>
> ok, und woher siehst du dies auf einen Blick?
M ist eine Kreislinie im [mm] \IR^2 [/mm] ! Tipp: quadratische Ergänzung.
FRED
>
> mfg
>
> >
> > FRED
> > >
> > > mfg
> > >
> > >
> > >
> >
>
|
|
|
|
