alle Punkte des R^3 < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Maiko |
Hallo!
Habe mal ne Frage:
Gesucht sind alle Punkte P(x,y,z) des [mm] R^3, [/mm] für welchen gilt:
f) |x| + |y| + |z| <= 1
Wie gehe ich hier ran? Wie lautet das Ergebnis?
Konnte leider keine passende Lösung in meinem Formelwerk für höhere Mathematik (Merziger) für Flächen zweiter Ordnung finden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo,
> Hallo!
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> Habe mal ne Frage:
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> Gesucht sind alle Punkte P(x,y,z) des [mm]R^3,[/mm] für welchen
> gilt:
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> f) |x| + |y| + |z| <= 1
>
> Wie gehe ich hier ran? Wie lautet das Ergebnis?
>
Du musst nur noch mal die Bedeutung der Betragsstriche überlegen.
In dem Oktanten, wo sowohl x als auch y und z grösser als Null sind, lautet die Gleichung:
$x + y + z [mm] \le [/mm] 1$
$x + y + z =1_ $ ist ja eine Ebenengleichung, und die Punkte liegen näher zum Ursprung hin (aber immer für diesen Oktanten beschränkt)
In dem Oktanten, wo x und z grösser als Null sind, hingegen y kleiner als Null, lautet die Gleichung:
$x - y + z [mm] \le [/mm] 1$
$x - y + z =1_ $ ist ja eine Ebenengleichung, und die Punkte liegen näher zum Ursprung hin (aber immer für diesen Oktanten beschränkt)
Wenn du so alle 8 Oktanten betrachtest (du musst natürlich nicht alle schriftlich durchgehen), dann wirst du wohl unschwer feststellen, dass deine Punktmenge ein Oktaeder bildet.
Viele Grüsse
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:09 Sa 02.07.2005 | | Autor: | Maiko |
Ok, danke.
Das ganze ist klar.
Hätte nur noch eine kleine Frage.
Es treten ja acht Fälle für die acht Oktanten auf, in welchen jeweils gilt:
x > v < 0 ; y > v < 0 ; z > v < 0
In einem Oktanten muss doch aber
x > = 0; y >= 0 ; z >= 0
gelten oder? Die Koordinantenachsen müssen also in einem Fall mit einbezogen werden?
Dann würde eine Gleichung einen Tetraeder darstellen oder sehe ich da was falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Sa 02.07.2005 | | Autor: | SEcki |
> In einem Oktanten muss doch aber
> x > = 0; y >= 0 ; z >= 0
Ja, das stimmt.
> Die Koordinantenachsen müssen also in einem
> Fall mit einbezogen werden?
Hm? Die begrzenzenden Ebenen in jedem Oktanten schneiden die Koordinatenachsen - überall!
> Dann würde eine Gleichung einen Tetraeder darstellen oder
> sehe ich da was falsch?
Richtig! in jedem Oktanden erhälst du einen Teraeder - hier auch Simplex genannt. Den kannst du dann in alle weiteren Oktanten kongruent abbilden - und der Oktaeder besteht somit aus 8 kongruenten Teraeder. Kannst dir ja mal einen basteln - oder aber löse das in Dimension 2 - dann erhälst du ein gedrehtes Quadrat, das in jedem Quadranten - ein Dreick ist. (Wieder ein 2-dim Simplex ...)
SEcki
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