alle abelsch. Grp. Ordnung 504 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Do 21.06.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie (bis auf Isomorphie) alle abelschen Gruppen der Ordnung 504. |
Hallo,
in solch einfachen Fällen kann man noch so vorgehen: Man bestimmt die Primfaktorzerlegung von [mm] 504=2^3*3^2*7^1. [/mm] Dann muss ich mir überlegen, auf wieviele Arten ich 3, also den Exponenten von 2, als Summe von positiven ganzen Zahlen schreiben kann. Das ist auf 3 Arten möglich, nämlich 3=3, 3=2+1(=1+2) und 3=1+1+1. Für 2 gilt 2=2=1+1 insgesamt sind es daher doch 6 (=3 * 2 * 1) Möglichkeiten.
Dann habe ich diese 6 abelschen Gruppen der Ordnung 504:
[mm] $\IZ/2^3\IZ$ \;\times$\IZ/3^2\IZ$ \;\times$\IZ/7\IZ$ \cong $\IZ/504\IZ$
[/mm]
[mm] $\IZ/2^3\IZ$ \;\times$\IZ/3\IZ$ \;\times$\IZ/3\IZ$ \;\times$\IZ/7\IZ$
[/mm]
[mm] $\IZ/2^2\IZ$ \;\times$\IZ/2\IZ$ \;\times$\IZ/3\IZ$ \;\times$\IZ/3\IZ$ \;\times$\IZ/7\IZ$
[/mm]
[mm] $\IZ/2^2\IZ$ \;\times$\IZ/2\IZ$ \;\times$\IZ/3^2\IZ$ \;\times$\IZ/7\IZ$
[/mm]
[mm] $\IZ/2\IZ$ \;\times$\IZ/2\IZ$ \;\times$\IZ/2\IZ$ \;\times$\IZ/3\IZ$ \;\times$\IZ/3\IZ$ \;\times$\IZ/7\IZ$
[/mm]
[mm] $\IZ/2\IZ$ \;\times$\IZ/2\IZ$ \;\times$\IZ/2\IZ$ \;\times$\IZ/3^2\IZ$ \;\times$\IZ/7\IZ$
[/mm]
Oder hab ich das noch falsch verstanden?
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Nach der Klassifikation endlicher abelscher Gruppen ist deine Lösung richtig.
Hab jetzt aber nicht nachgerechnet ob du 504 richtig faktorisiert hast 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 23.06.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Ich habe die Aufgabe genauso gelöst (in der Vorlesung hatten wir ja auch schon ein Beispiel dazu).
Reicht es eigentlich, wenn man es wie oben hinschreibt mit der Begründung, dass dies aus dem Hauptsatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen folgt? Es gibt ja immerhin 1/4 der Punkte darauf.
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> Ich habe die Aufgabe genauso gelöst (in der Vorlesung
> hatten wir ja auch schon ein Beispiel dazu).
> Reicht es eigentlich, wenn man es wie oben hinschreibt mit
> der Begründung, dass dies aus dem Hauptsatz für endlich
> erzeugte abelsche Gruppen folgt? Es gibt ja immerhin 1/4
> der Punkte darauf.
Das kann dir wohl nur dein Übungsleiter beantworten. Falls ihr aber in der VL schon so ein Beispiel gesehen habt, dann denke ich schon, dass es genügt. Und 1/4 der Punkte kann 1 Punkt oder 25 Punkte bedeuten, wenn man nicht weiß, was es noch für Aufgaben gibt.
In den Übungsaufgaben sollte man aber viel Wert darauf legen die Voraussetzungen mit aufzuführen, warum man was macht und auch machen darf.
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