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| Aufgabe | Finden Sie die allgemeine Lösung des Systems
[mm] \vektor{x' \\ y'}= \pmat{ -t & t+1 \\ t+1 & -t } \vektor{x \\ y} [/mm] + [mm] \vektor{e^t -2t -1 \\ e^t +2t +1}
[/mm]
Benutze Ansatz x=y um eine Lösung des homogenen Systems zu finden |
Hallo zusammen,
ich bearbeite grade diese Aufgabe und komme nicht weiter!
Hab zuerst das homogene System betrachtet
[mm] \vektor{x' \\ y'}= \pmat{ -t & t+1 \\ t+1 & -t } \vektor{x \\ y}
[/mm]
x'(t)= -tx(t) +(t+1)y(t)
y'(t)= (t+1)x(t)-ty(t)
hab jetzt den Ansatz benutzt
x'(t)= -tx(t) +(t+1)y(t) =-tx(t) +(t+1)x(t)= x(t)
[mm] \bruch{x'(t)}{x(t)}= [/mm] 1
integrieren ln|x(t)|=t+c [mm] c\in \IR
[/mm]
[mm] x(t)=e^t*c [/mm]
y'(t)= (t+1)y(t) -ty(t) =(t+1)y(t)-ty(t)= y(t)
[mm] \bruch{y'(t)}{y(t)}= [/mm] 1
integrieren ln|y(t)|=t+c [mm] c\in \IR
[/mm]
[mm] y(t)=e^t*c [/mm]
x(t)=y(t)
daraus folgt die homogene Lösung des Systems ist [mm] y_{hom}= \vektor{e^t \\ e^t}
[/mm]
mir ist allerdings nicht klar wie ich jetzt weitermachen soll...
kann mir da jmd einen tipp geben?
Danke
gruß,
kekschen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Sa 05.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie die allgemeine Lösung des Systems
> [mm]\vektor{x' \\ y'}= \pmat{ -t & t+1 \\ t+1 & -t } \vektor{x \\ y}[/mm]
> + [mm]\vektor{e^t -2t -1 \\ e^t +2t +1}[/mm]
> Benutze Ansatz x=y um
> eine Lösung des homogenen Systems zu finden
> Hallo zusammen,
>
> ich bearbeite grade diese Aufgabe und komme nicht weiter!
> Hab zuerst das homogene System betrachtet
>
> [mm]\vektor{x' \\ y'}= \pmat{ -t & t+1 \\ t+1 & -t } \vektor{x \\ y}[/mm]
>
> x'(t)= -tx(t) +(t+1)y(t)
> y'(t)= (t+1)x(t)-ty(t)
>
> hab jetzt den Ansatz benutzt
> x'(t)= -tx(t) +(t+1)y(t) =-tx(t) +(t+1)x(t)= x(t)
> [mm]\bruch{x'(t)}{x(t)}=[/mm] 1
> integrieren ln|x(t)|=t+c [mm]c\in \IR[/mm]
> [mm]x(t)=e^t*c[/mm]
>
>
> y'(t)= (t+1)y(t) -ty(t) =(t+1)y(t)-ty(t)= y(t)
> [mm]\bruch{y'(t)}{y(t)}=[/mm] 1
> integrieren ln|y(t)|=t+c [mm]c\in \IR[/mm]
> [mm]y(t)=e^t*c[/mm]
>
> x(t)=y(t)
> daraus folgt die homogene Lösung des Systems ist [mm]y_{hom}= \vektor{e^t \\ e^t}[/mm]
Das ist eine Lösung des hom. Systems. Für jedes c [mm] \in \IR [/mm] ist
[mm]y_c= c*\vektor{e^t \\ e^t}[/mm]
ebenfalls eine Lösung.
>
> mir ist allerdings nicht klar wie ich jetzt weitermachen
> soll...
Reduktionsverfahren von d'Alembert.
FRED
> kann mir da jmd einen tipp geben?
> Danke
>
> gruß,
> kekschen
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Okay danke schonmal
Hab jetzt folgendesn Ansatz "gefunden"
[mm] y=c(t)*y_h [/mm] +z(t) mit z(t)= [mm] \vektor{0\\ z_1(t) \\...\\ z_m(t)}
[/mm]
[mm] y'=c'(t)*y_h+c(t)*y_h'+z'(t)
[/mm]
[mm] =A(t)*c(t)*y_h [/mm] +A(t)*z(t)
also bei mir wäre das dann ja
y=c(t) [mm] \vektor{e^t \\ e^t} [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ z(t)}
[/mm]
[mm] y'=\vektor{c'(t)e^t \\ c'(t)e^t+c(t)e^t +z'(t)}
[/mm]
[mm] =\pmat{ -t & t+1 \\ t+1 & -t }* [/mm] [ [mm] c(t)*\vektor{e^t\\e^t}+ \vektor{0 \\ z(t)}]
[/mm]
[mm] =\vektor{c(t)e^t +(t+1)z(t) \\ c(t)e^t -tz(t))}
[/mm]
ist das soweit schonmal richtig?
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Hallo Kampfkekschen,
> Okay danke schonmal
> Hab jetzt folgendesn Ansatz "gefunden"
> [mm]y=c(t)*y_h[/mm] +z(t) mit z(t)= [mm]\vektor{0\\ z_1(t) \\...\\ z_m(t)}[/mm]
>
> [mm]y'=c'(t)*y_h+c(t)*y_h'+z'(t)[/mm]
> [mm]=A(t)*c(t)*y_h[/mm] +A(t)*z(t)
>
> also bei mir wäre das dann ja
> y=c(t) [mm]\vektor{e^t \\ e^t}[/mm] + [mm]\vektor{0 \\ z(t)}[/mm]
>
> [mm]y'=\vektor{c'(t)e^t \\ c'(t)e^t+c(t)e^t +z'(t)}[/mm]
> [mm]=\pmat{ -t & t+1 \\ t+1 & -t }*[/mm]
> [ [mm]c(t)*\vektor{e^t\\e^t}+ \vektor{0 \\ z(t)}][/mm]
>
> [mm]=\vektor{c(t)e^t +(t+1)z(t) \\ c(t)e^t -tz(t))}[/mm]
>
> ist das soweit schonmal richtig?
y' stimmt nicht ganz:
[mm]y'=\vektor{c'(t)e^t \red{+c\left(t\right)*e^{t}}\\ c'(t)e^t+c(t)e^t +z'(t)}[/mm]
Die rechte Seite ist ok.
Gruss
MathePower
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danke habs übersehen
[mm] \vektor{c'(t)e^t +c\left(t\right)\cdot{}e^{t}\\ c'(t)e^t+c(t)e^t +z'(t)} [/mm] = [mm] \vektor{c(t)e^t +(t+1)z(t) \\ c(t)e^t -tz(t))}
[/mm]
1) [mm] c'(t)e^t +c(t)e^t [/mm] = [mm] c(t)e^t [/mm] +(t+1)z(t)
[mm] c'(t)e^t [/mm] = (t+1)z(t)
[mm] 2)c'(t)e^t +c(t)e^t [/mm] +z'(t) = [mm] c(t)e^t-tz(t)
[/mm]
[mm] z'(t)=-c(t)e^t-tz(t)
[/mm]
1) in 2) einsetzen
z'(t)= (-2t-1)z(t)
integrieren
[mm] z(t)=e^{-t^2-t}*c_1
[/mm]
z(t) in 1) einsetzen
[mm] c'(t)=(t+1)e^{-t^2-2t}*c_1
[/mm]
integrieren
c(t)= [mm] \bruch{-1}{2}*e^{-t^2-2t}*c_1
[/mm]
y= [mm] c(t)*y_h(t)+z(t)= \bruch{-1}{2}*e^{-t^2-2t}*c_1 *\vekor{e^t\\e^t} +\vektor{0\\e^{-t^-t}*c_1 } [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{-1}{2}*e^{-t^2-2t}*c_1\\ \bruch{1}{2}*e^{-t^2-t}*c_1}
[/mm]
[mm] y_2= \vektor{-e^{-t^2-t}*c_1\\ e^{-t^2-t}*c_1 }
[/mm]
[mm] y_s=c_2(t)y_h +c_3(t)*y_2(t)
[/mm]
ist das bis hierhin richtig?
wie muss ich denn jetzt weitermachen?
danke schonmal!
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Hallo Kampfkekschen,
> danke habs übersehen
>
> [mm]\vektor{c'(t)e^t +c\left(t\right)\cdot{}e^{t}\\ c'(t)e^t+c(t)e^t +z'(t)}[/mm]
> = [mm]\vektor{c(t)e^t +(t+1)z(t) \\ c(t)e^t -tz(t))}[/mm]
>
> 1) [mm]c'(t)e^t +c(t)e^t[/mm] = [mm]c(t)e^t[/mm] +(t+1)z(t)
> [mm]c'(t)e^t[/mm] = (t+1)z(t)
>
> [mm]2)c'(t)e^t +c(t)e^t[/mm] +z'(t) = [mm]c(t)e^t-tz(t)[/mm]
> [mm]z'(t)=-c(t)e^t-tz(t)[/mm]
>
> 1) in 2) einsetzen
> z'(t)= (-2t-1)z(t)
>
> integrieren
> [mm]z(t)=e^{-t^2-t}*c_1[/mm]
>
> z(t) in 1) einsetzen
> [mm]c'(t)=(t+1)e^{-t^2-2t}*c_1[/mm]
> integrieren
> c(t)= [mm]\bruch{-1}{2}*e^{-t^2-2t}*c_1[/mm]
>
> y= [mm]c(t)*y_h(t)+z(t)= \bruch{-1}{2}*e^{-t^2-2t}*c_1 *\vekor{e^t\\e^t} +\vektor{0\\e^{-t^-t}*c_1 }[/mm]
> = [mm]\vektor{\bruch{-1}{2}*e^{-t^2-2t}*c_1\\ \bruch{1}{2}*e^{-t^2-t}*c_1}[/mm]
>
> [mm]y_2= \vektor{-e^{-t^2-t}*c_1\\ e^{-t^2-t}*c_1 }[/mm]
>
> [mm]y_s=c_2(t)y_h +c_3(t)*y_2(t)[/mm]
>
> ist das bis hierhin richtig?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> wie muss ich denn jetzt weitermachen?
Jetzt kannst Du Dich an die Bestimmung der partikulären Lösung machen.
Das wird entwedermit der Methode der Variation der Konstanten gemacht
oder mit der Wahl eines geeigeneten Ansatzes.
>
> danke schonmal!
>
Gruss
MathePower
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dankeschön
habs jetzt so gelöst
[mm] y_s=c_2(t)y_h +c_3(t)\cdot{}y_2(t)
[/mm]
[mm] \vektor{e^t\\ e^t} c_1' [/mm] + [mm] c_2' \vektor{-e^{-t^2-t}\cdot{}c_1\\ e^{-t^2-t}\cdot{}c_1 } [/mm] = [mm] \vektor{e^t-2t-1\\e^t+2t+1}
[/mm]
auflösen
[mm] c_1'=1 [/mm] -> [mm] c_1'=t
[/mm]
[mm] c_2'=(2t+1)e^{t^2+t} [/mm] -> [mm] c_2'= e^{t^2+t}
[/mm]
daraus folgt [mm] y_s= \vektor{te^t-1\\te^t+1}
[/mm]
also lautet die allgemeine lösung
y= [mm] c_1 \vektor{e^t\\ e^t} [/mm] + [mm] c_2 \vektor{-e^{-t^2-t}\cdot{}c_1\\ e^{-t^2-t}\cdot{}c_1 } [/mm] + [mm] \vektor{te^t-1\\te^t+1}
[/mm]
stimmt das jetzt so?
gruß,
kekschen
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Hallo Kampfkekschen,
> dankeschön
> habs jetzt so gelöst
> [mm]y_s=c_2(t)y_h +c_3(t)\cdot{}y_2(t)[/mm]
>
> [mm]\vektor{e^t\\ e^t} c_1'[/mm] + [mm]c_2' \vektor{-e^{-t^2-t}\cdot{}c_1\\ e^{-t^2-t}\cdot{}c_1 }[/mm]
> = [mm]\vektor{e^t-2t-1\\e^t+2t+1}[/mm]
>
> auflösen
> [mm]c_1'=1[/mm] -> [mm]c_1'=t[/mm]
> [mm]c_2'=(2t+1)e^{t^2+t}[/mm] -> [mm]c_2'= e^{t^2+t}[/mm]
>
> daraus folgt [mm]y_s= \vektor{te^t-1\\te^t+1}[/mm]
>
> also lautet die allgemeine lösung
> y= [mm]c_1 \vektor{e^t\\ e^t}[/mm] + [mm]c_2 \vektor{-e^{-t^2-t}\cdot{}c_1\\ e^{-t^2-t}\cdot{}c_1 }[/mm]
> + [mm]\vektor{te^t-1\\te^t+1}[/mm]
>
> stimmt das jetzt so?
Ja, das stimmt so.
>
> gruß,
> kekschen
>
Gruss
MathePower
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Danke für die supi Hilfe!!!
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